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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2011 Mathematik I Aufgabe B1

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe
Aufgabe B1.2  (3 Punkte)
Punkte P n liegen auf der Strecke [ A M ] . Die Winkel P n C A haben das Maß φ mit φ ∈ ] 0 ∘ ; 54 , 46 ∘ ] . Die Punkte P n sind zusammen mit den Punkten B und D die Eckpunkte von gleichschenkligen Dreiecken B D P n mit der gemeinsamen Basis [ B D ] .
Die Winkel B P n D haben das Maß ε .
Zeichnen Sie das Dreieck B D P 1 für φ = 30 ∘ in das Schrägbild zu 1.1 ein.
Für alle Dreiecke B D P n gilt: ε ∈ [ 46 , 40 ∘ ; 72 , 79 ∘ ] .
Begründen Sie die obere Intervallgrenze.
Lösung zu Aufgabe B1.2
Skizze
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Dreieck B D P 1 für φ = 30 ∘ einzeichnen:
Schritt einblenden / ausblenden
Winkel bestimmen
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Gesucht ist der größte Wert, den ϵ annehmen kann.

T P n ¯ ist die Höhe der gleichschenkligen Dreiecke B D P n .

ϵ ist genau dann am größten, wenn die Höhe T P n ¯ minimal ist.

T P n ¯ ist genau dann minimal, wenn [ T P n ] senkrecht auf [ A M ] steht. Für diesen Fall betrachtet man das rechtwinklige Dreieck A T P n .

Schritt einblenden / ausblenden
Im rechtwinkligen Dreieck A T P n gilt:

sin ∡ C A M = T P n ¯ A T ¯

sin 54 , 46 ∘ = T P m i n ¯ 5 | ⋅ 5

T P m i n ¯ = 5 ⋅ sin 54 , 46 ∘

Für diesen kleinsten Wert T P m i n ¯ muss jetzt noch ϵ berechnet werden.

Dazu betrachtet man das rechtwinklige Dreieck B T P m i n .

Schritt einblenden / ausblenden
Im rechtwinkligen Dreieck B T P m i n gilt:

tan ϵ 2 = B T ¯ T P m i n ¯ = 3 5 ⋅ sin 54 , 46 ∘

ϵ 2 = tan - 1 ( 3 5 ⋅ sin 54 , 46 ∘ ) | ⋅ 2

ϵ = 2 ⋅ tan - 1 ( 3 5 ⋅ sin 54 , 46 ∘ )

ϵ ≈ 72 , 79 ∘
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