Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2011 Mathematik I Aufgabe B1

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B1.5 (3 Punkte)

Die Punkte

P_{n}

sind die Spitzen von Pyramiden

A B C D P_{n}

mit den Höhen

[P_{n} K_{n}]

, deren Fußpunkte

K_{n}

auf der Strecke

[A T]

liegen.
Zeichnen Sie die Pyramide

A B C D P_{1}

und ihre Höhe

[P_{1} K_{1}]

in das Schrägbild zu 1.1 ein und ermitteln Sie sodann rechnerisch das Volumen

V

der Pyramiden

A B C D P_{n}

in Abhängigkeit von

φ

.
[Ergebnis:

V (φ) = \frac{81, 4 \cdot \sin φ}{\sin (54, 46^{\circ} + φ)}

cm³]

Lösung zu Aufgabe B1.5

Skizze

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Pyramide

A B C D P_{1}

und Höhe

[P_{1} K_{1}]

einzeichnen:

Volumen einer Pyramide

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Gegeben:

\bar{A C} = 10

cm,

\bar{B D} = 6

cm

Gesucht:

Volumen

V

der Pyramiden

A B C D P_{n}

in Abhängigkeit von

φ

Schritt einblenden / ausblenden

Volumen einer Pyramide

Eine Pyramide mit Grundfläche

G

und Höhe

h

hat ein Volumen von:

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

Die Grundfläche

G

ist die Raute

A B C D

.

Die Höhe

h

ist die Strecke

[P_{n} K_{n}]

Schritt einblenden / ausblenden

Flächeninhalt einer Raute

Eine Raute mit Diagonalen

e

und

f

hat einen Flächeninhalt von:

A = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f

In der Raute

A B C D

gilt:

e = \bar{A C} = 10

cm,

f = \bar{B D} = 6

V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot e \cdot f \cdot h

V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 \cdot \bar{P_{n} K_{n}}

=

10 \cdot \bar{P_{n} K_{n}}

Zur Berechnung von

\bar{P_{n} K_{n}}

wird das rechtwinklige Dreieck

K_{n} C P_{n}

betrachtet.

Schritt einblenden / ausblenden

Sinus eines Winkels

\sin α = \frac{Gegenkathete zu α}{Hypothenuse}

Gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken.

Im rechtwinkligen Dreieck

K_{n} C P_{n}

gilt:

\sin φ = \frac{\bar{P_{n} K_{n}}}{\bar{C P_{n}}}

|

\cdot \bar{C P_{n}}

(\bar{C P_{n}} = \frac{8, 14}{\sin (54, 46^{\circ} + φ)} v g l . A u f g a b e 1.4)

\bar{P_{n} K_{n}} = \sin φ \cdot \bar{C P_{n}}

=

\sin φ \cdot \frac{8, 14}{\sin (54, 46^{\circ} + φ)}

V = 10 \cdot \bar{P_{n} K_{n}}

\Rightarrow

V (φ) = \frac{81, 4 \cdot \sin φ}{\sin (54, 46^{\circ} + φ)}

cm³

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Skizze

Volumen einer Pyramide

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