Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2011 Mathematik I Aufgabe B1

Aufgabe B1.4 (2 Punkte)

Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken

[C P_{n}]

in Abhängigkeit von

φ

gilt:

\bar{C P_{n}} (φ) = \frac{8, 14}{\sin (54, 46^{\circ} + φ)}

cm.

Lösung zu Aufgabe B1.4

Länge einer Strecke

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Gesucht:

\bar{C P_{n}} (φ)

Man betrachtet das Dreieck

A C P_{n}

In diesem Dreieck sind

\bar{A C} = 10

cm und

∡ C A P_{n} = ∡ C A M = 54, 46^{\circ}

gegeben.

Schritt einblenden / ausblenden

Sinussatz

In jedem Dreieck haben die Quotienten aus der Länge einer Seite und dem Sinuswert ihres Gegenwinkels denselben Wert. Es gilt:

\frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β} = \frac{c}{\sin γ}

Anders formuliert:

\frac{a}{b} = \frac{\sin α}{\sin β}

\frac{a}{c} = \frac{\sin α}{\sin γ}

\frac{b}{c} = \frac{\sin β}{\sin γ}

Im Dreieck

A C P_{n}

gilt:

\frac{\bar{A C}}{\sin ∡ A P_{n} C} = \frac{\bar{C P_{n}}}{\sin ∡ C A P_{n}}

Schritt einblenden / ausblenden

Winkelsumme im Dreieck

Die Summe der Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks ist immer gleich

180^{\circ}

.

Also hat der Winkel

∡ A P_{n} C

eine Größe von

180^{\circ} - (54, 46^{\circ} + φ)

\frac{10}{\sin (180^{\circ} - (54, 46^{\circ} + φ))} = \frac{\bar{C P_{n}}}{\sin 54, 46^{\circ}}

Schritt einblenden / ausblenden

Sinus eines Winkels

\sin x = \sin (180^{\circ} - x)

\frac{10}{\sin (54, 46^{\circ} + φ)} = \frac{\bar{C P_{n}}}{\sin 54, 46^{\circ}}

|

\cdot \sin 54, 46^{\circ}

\bar{C P_{n}} = \frac{10 \cdot \sin 54, 46^{\circ}}{\sin (54, 46^{\circ} + φ)}

\Rightarrow

\bar{C P_{n}} (φ) = \frac{8, 14}{\sin (54, 46^{\circ} + φ)}

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