Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2011 Mathematik I Aufgabe B1

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B1.6 (3 Punkte)

Das Volumen der Pyramide

A B C D P_{3}

beträgt ein Viertel des Volumens des Prismas

A B C D E F G H

.
Berechnen Sie das zugehörige Winkelmaß

φ

Lösung zu Aufgabe B1.6

Volumen eines Prismas

weitere Mittlere-Reife-Prüfungsaufgaben zu diesem Thema

Gegeben:

\bar{A C} = 10

cm,

\bar{B D} = 6

cm,

\bar{A E} = 7

cm

Zunächst muss das Volumen des Prismas

A B C D E F G H

berechnet werden.

Schritt einblenden / ausblenden

Volumen eines Prismas

Ein Prisma mit der Grundfläche

G

und der Höhe

h

hat ein Volumen von:

V = G \cdot h

V = G \cdot h

Die Grundfläche

G

ist die Raute

A B C D

.

Die Höhe

h

ist die Strecke

[A E]

Schritt einblenden / ausblenden

Flächeninhalt einer Raute

Eine Raute mit Diagonalen

e

und

f

hat einen Flächeninhalt von:

A = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f

In der Raute

A B C D

gilt:

e = \bar{A C} = 10

cm,

f = \bar{B D} = 6

V_{P r i s m a} = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f \cdot h

V_{P r i s m a} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 \cdot 7 = 210

cm³

Winkel bestimmen

weitere Mittlere-Reife-Prüfungsaufgaben zu diesem Thema

Gegeben:

V_{P y r a m i d e} (φ) = \frac{81, 4 \cdot \sin φ}{\sin (54, 46^{\circ} + φ)}

cm³

Das Volumen der Pyramide

A B C D P_{3}

beträgt ein Viertel des Volumens des Prismas

A B C D E F G H

\Rightarrow

V_{A B C D P_{3}} = \frac{1}{4} \cdot V_{P r i s m a}

\frac{81, 4 \cdot \sin φ}{\sin (54, 46^{\circ} + φ)} = \frac{1}{4} \cdot 210

|

\cdot \sin (54, 46^{\circ} + φ)

81, 4 \cdot \sin φ = 52, 5 \cdot \sin (54, 46^{\circ} + φ)

Schritt einblenden / ausblenden

Additionstheorem

\sin (α + β) = \sin α \cdot \cos β + \cos α \cdot \sin β

81, 4 \cdot \sin φ

=

52, 5 \cdot (\sin 54, 46^{\circ} \cdot \cos φ + \cos 54, 46^{\circ} \cdot \sin φ)

81, 4 \cdot \sin φ

=

52, 5 \cdot \sin 54, 46^{\circ} \cdot \cos φ + 52, 5 \cdot \cos 54, 46^{\circ} \cdot \sin φ

81, 4 \cdot \sin φ - 52, 5 \cdot \cos 54, 46^{\circ} \cdot \sin φ

=

52, 5 \cdot \sin 54, 46^{\circ} \cdot \cos φ

\sin φ \cdot (81, 4 - 52, 5 \cdot \cos 54, 46^{\circ})

=

52, 5 \cdot \sin 54, 46^{\circ} \cdot \cos φ

|

: \cos φ

Schritt einblenden / ausblenden

Tangens eines Winkels

Für den Tangens eines Winkels

α

gilt die Beziehung:

\tan α = \frac{\sin α}{\cos α}

\tan φ \cdot (81, 4 - 52, 5 \cdot \cos 54, 46^{\circ})

=

52, 5 \cdot \sin 54, 46^{\circ}

|

: (81, 4 - 52, 5 \cdot \cos 54, 46^{\circ})

\tan φ

=

\frac{52, 5 \cdot \sin 54, 46^{\circ}}{81, 4 - 52, 5 \cdot \cos 54, 46^{\circ}}

|

\tan^{- 1}

\Rightarrow

φ \approx 40, 02^{\circ}

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Lösungen zu:

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Themen dieser Aufgabe:

Volumen eines Prismas

Winkel bestimmen

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