Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2011 Mathematik I Aufgabe B1

Aufgabe B1.3 (3 Punkte)

Das Dreieck

B D P_{2}

ist gleichseitig.
Ermitteln Sie rechnerisch die Länge der Strecke

[A P_{2}]

.
[Teilergebnis:

\bar{T P_{2}} = 5, 20

cm]

Lösung zu Aufgabe B1.3

Länge einer Strecke

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Zuerst berechnet man die Höhe

T P_{2}

des gleichseitigen Dreiecks

B D P_{2}

Schritt einblenden / ausblenden

Höhe eines gleichseitigen Dreiecks

Die Höhe

h

eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge

a

berechnet man mit folgender Formel:

h = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot a

\bar{T P_{2}} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \bar{B D}

\bar{T P_{2}} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 6 \approx 5, 20

cm

Zur Berechnung von

\bar{A P_{2}}

betrachtet man das Dreieck

A T P_{2}

In diesem Dreieck sind

\bar{A T} = 5

cm,

\bar{T P_{2}} = 5, 20

cm und

∡ C A M = ∡ T A P_{2} = 54, 46^{\circ}

gegeben.

Schritt einblenden / ausblenden

Sinussatz

In jedem Dreieck haben die Quotienten aus der Länge einer Seite und dem Sinuswert ihres Gegenwinkels denselben Wert. Es gilt:

\frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β} = \frac{c}{\sin γ}

Anders formuliert:

\frac{a}{b} = \frac{\sin α}{\sin β}

\frac{a}{c} = \frac{\sin α}{\sin γ}

\frac{b}{c} = \frac{\sin β}{\sin γ}

\frac{\bar{A T}}{\bar{T P_{2}}} = \frac{\sin ∡ A P_{2} T}{\sin 54, 46^{\circ}}

\Rightarrow \sin ∡ A P_{2} T = \frac{\bar{A T} \cdot \sin 54, 46^{\circ}}{\bar{T P_{2}}}

\Rightarrow \sin ∡ A P_{2} T = \frac{5 \cdot \sin 54, 46^{\circ}}{5, 2}

\Rightarrow ∡ A P_{2} T \approx 51, 48^{\circ}

\frac{\bar{A P_{2}}}{\bar{A T}} = \frac{\sin ∡ A T P_{2}}{\sin ∡ A P_{2} T}

\Rightarrow \bar{A P_{2}} = \frac{\bar{A T} \cdot \sin ∡ A T P_{2}}{\sin ∡ A P_{2} T}

Schritt einblenden / ausblenden

Winkelsumme im Dreieck

Die Summe der Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks ist immer gleich

180^{\circ}

.

Also hat der Winkel

∡ A T P_{2}

eine Größe von

180^{\circ} - 54, 46^{\circ} - 51, 48^{\circ} = 74, 06^{\circ}

\Rightarrow \bar{A P_{2}} = \frac{5 \cdot \sin 74, 06^{\circ}}{\sin 51, 48^{\circ}}

\Rightarrow \bar{A P_{2}} \approx 6, 14

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