Mittlere-Reife-Prüfung 2011 Mathematik II Aufgabe B1

Aufgabe B1.

Die Parabel

p

verläuft durch die Punkte

P (5 | - 1)

und

Q (- 2 | 0, 75)

. Sie hat eine Gleichung der Form

y = a x^{2} + b x + 2, 75

mit

G = ℝ \times ℝ

und

a \in ℝ ∖ {0}

;

b \in ℝ

.
Die Gerade

g

hat die Gleichung

y = - 0, 5 x + 5

mit

G = ℝ \times ℝ

Aufgabe B1.1 (4 Punkte)

Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für

a

und

b

, dass die Parabel

p

die Gleichung

y = - 0, 25 x^{2} + 0, 5 x + 2, 75

hat.
Zeichnen Sie die Parabel

p

sowie die Gerade

g

für

x \in [- 4; 7]

in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung:

Längeneinheit 1 cm;

- 5 ≦ x ≦ 8

;

- 7 ≦ y ≦ 8

Aufgabe B1.2 (2 Punkte)

Punkte

A_{n} (x | - 0, 25 x^{2} + 0, 5 x + 2, 75)

auf der Parabel

p

und Punkte

C_{n} (x | - 0, 5 x + 5)

auf der Geraden

g

haben dieselbe Abszisse

x

. Sie sind zusammen mit Punkten

B_{n}

und

D_{n}

die Eckpunkte von Rauten

A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}

mit

\bar{B_{n} D_{n}} = 5

LE.
Zeichnen Sie für

x = - 1

die Raute

A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

und für

x = 3, 5

die Raute

A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}

in das Koordinatensystem zu 1.1 ein.

Aufgabe B1.3 (1 Punkt)

Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Diagonalen

[A_{n} C_{n}]

in Abhängigkeit von der Abszisse

x

der Punkte

A_{n}

gilt:

\bar{A_{n} C_{n}} (x) = (0, 25 x^{2} - x + 2, 25)

LE.

Aufgabe B1.4 (3 Punkte)

Unter den Diagonalen

[A_{n} C_{n}]

hat die Diagonale

[A_{0} C_{0}]

die minimale Länge.
Berechnen Sie den zugehörigen Wert von

x

und die Länge der Diagonale

[A_{0} C_{0}]

.
Begründen Sie sodann, dass es unter den Rauten

A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}

keine Raute mit dem Flächeninhalt

3

FE gibt.

Aufgabe B1.5 (3 Punkte)

Die Rauten

A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}

und

A_{4} B_{4} C_{4} D_{4}

sind Quadrate.
Ermitteln Sie durch Rechnung die Koordinaten der Punkte

A_{3}

und

A_{4}

. Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.

Aufgabe B1.6 (4 Punkte)

Die Diagonalen der Rauten

A_{5} B_{5} C_{5} D_{5}

und

A_{6} B_{6} C_{6} D_{6}

schneiden sich jeweils auf der

x

-Achse.
Berechnen Sie die

x

-Koordinaten der Punkte

A_{5}

und

A_{6}

. Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.

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