Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2011 Mathematik II Aufgabe B1

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B1.4 (3 Punkte)

Unter den Diagonalen

[A_{n} C_{n}]

hat die Diagonale

[A_{0} C_{0}]

die minimale Länge.
Berechnen Sie den zugehörigen Wert von

x

und die Länge der Diagonale

[A_{0} C_{0}]

.
Begründen Sie sodann, dass es unter den Rauten

A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}

keine Raute mit dem Flächeninhalt

3

FE gibt.

Lösung zu Aufgabe B1.4

Extremwertproblem

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Gegeben aus 1.3:

\bar{A_{n} C_{n}} (x) = (0, 25 x^{2} - x + 2, 25)

LE

Gesucht ist das Minimum von

\bar{A_{n} C_{n}}

.

Das Minimum der nach oben geöffneten Parabel

\bar{A_{n} C_{n}} (x) = 0, 25 x^{2} - x + 2, 25

liegt beim Scheitelpunkt

S

Schritt einblenden / ausblenden

Scheitelpunkt einer Parabel bestimmen

Eine quadratische Funktion der Form

y = a x^{2} + b x + c

besitzt folgenden Scheitelpunkt

S

S (- \frac{b}{2 a} | \frac{4 a c - b^{2}}{4 a})

(siehe Formelsammlung)

Es genügt, den

x

-Wert des Scheitelpunktes

S

zu bestimmen.

x_{S} = - \frac{b}{2 a}

x_{S} = - \frac{- 1}{2 \cdot 0, 25} = 2

Schritt einblenden / ausblenden

Einsetzen

x_{S} = 2

wird in

\bar{A_{n} C_{n}} (x) = 0, 25 x^{2} - x + 2, 25

eingesetzt.

\bar{A_{0} C_{0}} = 0, 25 \cdot 2^{2} - 2 + 2, 25

\Rightarrow

Für

x = 2

gilt:

\bar{A_{0} C_{0}} = 1, 25

Flächeninhalt einer Raute

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Gegeben:

A = 3

FE,

\bar{B_{n} D_{n}} = 5

Schritt einblenden / ausblenden

Flächeninhalt einer Raute

Eine Raute mit Diagonalen

e

und

f

hat einen Flächeninhalt von:

A = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f

A = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f

3 = \frac{1}{2} \cdot \bar{A_{n} C_{n}} \cdot \bar{B_{n} D_{n}}

3 = \frac{1}{2} \cdot \bar{A_{n} C_{n}} \cdot 5

3 = \frac{5}{2} \cdot \bar{A_{n} C_{n}}

|

: \frac{5}{2}

\bar{A_{n} C_{n}} = 1, 2

Wenn es eine Raute mit Flächeninhalt

3

FE gäbe, so hätte die Strecke

[A_{n} C_{n}]

die Länge

1, 2

.

Da wir aber oben gezeigt haben, dass die Strecken

[A_{n} C_{n}]

mindestens eine Länge von

1, 25

LE haben, gibt es keine Raute mit Flächeninhalt

3

FE.

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Flächeninhalt einer Raute

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