Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2011 Mathematik II Aufgabe B2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B2.2 (4 Punkte)

Vor dem Ausschneiden werden einzelne Maße überprüft.
Berechnen Sie die Länge der Strecke

[A C]

, das Maß des Winkels

B A C

sowie die Länge der Strecke

[C D]

.
[Ergebnisse:

\bar{A C} = 61, 1

cm;

∡ B A C = 33, 6^{\circ}

;

\bar{C D} = 41, 8

cm]

Lösung zu Aufgabe B2.2

Länge einer Strecke

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Gegeben:

\bar{A B} = 60, 0

cm;

\bar{A D} = 35, 0

cm;

∡ B A D = 75^{\circ}

Schritt einblenden / ausblenden

Gleichschenkliges Trapez

In einem gleichschenkligen Trapez

A B C D

sind die Schenkel

[A D]

und

[B C]

gleich lang.

Ebenfalls haben die Basiswinkel

∡ B A D

und

∡ C B A

das gleiche Maß.

\Rightarrow

\bar{A D} = \bar{B C} = 35, 0

\Rightarrow

∡ B A D = ∡ C B A = 75^{\circ}

Gesucht:

\bar{A C}

Man betrachtet das Dreieck

A B C

Schritt einblenden / ausblenden

Kosinussatz

Sind in einem beliebigen Dreieck zwei Seiten

b

und

c

und der von diesen Seiten eingeschlossene Winkel

α

gegeben, so kann der Kosinussatz angewendet werden:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos α$

Im Dreieck

A B C

a = [A C]

b = [B C]

c = [A B]

α = ∡ C B A

{\bar{A C}}^{2} = {\bar{B C}}^{2} + {\bar{A B}}^{2} - 2 \cdot \bar{B C} \cdot \bar{A B} \cdot \cos ∡ C B A

{\bar{A C}}^{2} = 35, 0^{2} + 60, 0^{2} - 2 \cdot 35, 0 \cdot 60, 0 \cdot \cos 75^{\circ}

|

\sqrt{}

\bar{A C} = \sqrt{35, 0^{2} + 60, 0^{2} - 2 \cdot 35, 0 \cdot 60, 0 \cdot \cos 75^{\circ}}

\Rightarrow

\bar{A C} \approx 61, 1

Winkel bestimmen

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Gesucht:

∡ B A C

Man betrachtet wiederum das Dreieck

A B C

Schritt einblenden / ausblenden

Sinussatz

In jedem Dreieck haben die Quotienten aus der Länge einer Seite und dem Sinuswert ihres Gegenwinkels denselben Wert. Es gilt:

\frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β} = \frac{c}{\sin γ}

Anders formuliert:

\frac{a}{b} = \frac{\sin α}{\sin β}

\frac{a}{c} = \frac{\sin α}{\sin γ}

\frac{b}{c} = \frac{\sin β}{\sin γ}

Im Dreieck

A B C

gilt somit:

\frac{\bar{B C}}{\sin ∡ B A C} = \frac{\bar{A C}}{\sin ∡ C B A}

\Leftrightarrow

\frac{\sin ∡ B A C}{\bar{B C}} = \frac{\sin ∡ C B A}{\bar{A C}}

\frac{\sin ∡ B A C}{\bar{B C}} = \frac{\sin ∡ C B A}{\bar{A C}}

\frac{\sin ∡ B A C}{35, 0} = \frac{\sin 75^{\circ}}{61, 1}

|

\cdot 35, 0

\sin ∡ B A C = \frac{\sin 75^{\circ}}{61, 1} \cdot 35, 0

|

\sin^{- 1}

\Rightarrow

∡ B A C \approx 33, 6^{\circ}

Länge einer Strecke

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Gesucht:

\bar{C D}

Man betrachtet das Dreieck

A C D

Schritt einblenden / ausblenden

Kosinussatz

Sind in einem beliebigen Dreieck zwei Seiten

b

und

c

und der von diesen Seiten eingeschlossene Winkel

α

gegeben, so kann der Kosinussatz angewendet werden:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos α$

Im Dreieck

A C D

a = [C D]

b = [A C]

c = [A D]

α = ∡ C A D

{\bar{C D}}^{2} = {\bar{A C}}^{2} + {\bar{A D}}^{2} - 2 \cdot \bar{A C} \cdot \bar{A D} \cdot \cos ∡ C A D

{\bar{C D}}^{2} = 61, 1^{2} + 35, 0^{2} - 2 \cdot 61, 1 \cdot 35, 0 \cdot \cos (75^{\circ} - 33, 6^{\circ})

|

\sqrt{}

\bar{C D} = \sqrt{61, 1^{2} + 35, 0^{2} - 2 \cdot 61, 1 \cdot 35, 0 \cdot \cos (75^{\circ} - 33, 6^{\circ})}

\Rightarrow

\bar{C D} \approx 41, 8

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Länge einer Strecke

Winkel bestimmen

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