Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2011 Mathematik II Aufgabe B2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B2.3 (3 Punkte)

Ein Teil des Tischsets wird farblich abgesetzt.
Ermitteln Sie durch Rechnung die Länge der Strecke

[E K]

sowie den Flächeninhalt des Kreissektors, der durch die Strecken

[H E]

und

[E G]

sowie den Kreisbogen

\overset{⌢}{G H}

begrenzt wird.
[Ergebnisse:

\bar{E K} = 13, 9

cm;

A_{Sektor GEH} = 190, 2

^{2}

]

Lösung zu Aufgabe B2.3

Länge einer Strecke

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Gegeben aus 2.2:

∡ B A C = 33, 6^{\circ}

\bar{C D} = 41, 8

Schritt einblenden / ausblenden

Wechselwinkel / Z-Winkel

Werden zwei parallele Geraden

g

und

h

von einer dritten Geraden geschnitten, so gelten für die Wechselwinkel folgende Beziehungen:

α = β

und

γ = δ

Es gilt:

∡ D C A = ∡ B A C = 33, 6^{\circ}

Man betrachtet das rechtwinklige Dreieck

E C K

Schritt einblenden / ausblenden

Tangens eines Winkels

Der Tangens eines Winkels

α

ist ein Seitenverhältnis.

\tan α = \frac{Gegenkathete zu α}{Ankathete zu α}

Gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken.

\tan ∡ D C A = \frac{\bar{E K}}{\bar{C K}}

\tan 33, 6^{\circ} = \frac{\bar{E K}}{\frac{1}{2} \bar{C D}}

\tan 33, 6^{\circ} = \frac{\bar{E K}}{\frac{1}{2} \cdot 41, 8}

|

\cdot \frac{1}{2} \cdot 41, 8

\bar{E K} = \frac{1}{2} \cdot 41, 8 \cdot \tan 33, 6^{\circ}

\Rightarrow

\bar{E K} \approx 13, 9

Flächeninhalt eines Kreissektors

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Gesucht:

A_{Sektor GEH}

Schritt einblenden / ausblenden

Flächeninhalt eines Kreissektors

Der Flächeninhalt

A

eines Kreissektors wird gemäß der Formel

A = r^{2} \cdot π \cdot \frac{α}{360^{\circ}}

berechnet.

r^{2} \cdot π

ist der Flächeninhalt des ganzen Kreises.

\frac{α}{360^{\circ}}

gibt den Anteil des Kreissektors am ganzen Kreis an.

A_{Sektor GEH} = r^{2} \cdot π \cdot \frac{α}{360^{\circ}}

A_{Sektor GEH} = {\bar{E K}}^{2} \cdot π \cdot \frac{∡ G E H}{360^{\circ}}

A_{Sektor GEH} = 13, 9^{2} \cdot π \cdot \frac{∡ G E H}{360^{\circ}}

Zur Berechnung von

∡ G E H

betrachtet man das gleichschenklige Dreieck

D E C

Schritt einblenden / ausblenden

Gleichschenkliges Dreieck

Winkelsumme im Dreieck

Im gleichschenkligen Dreieck

D E C

mit der Basis

[C D]

sind die Basiswinkel gleich groß.

Die Summe der Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks ist immer gleich

180^{\circ}

.

Also hat der Winkel

∡ G E H

eine Größe von

180^{\circ} - (2 \cdot 33, 6^{\circ})

∡ G E H = 180^{\circ} - (2 \cdot 33, 6^{\circ}) = 112, 8^{\circ}

A_{Sektor GEH} = 13, 9^{2} \cdot π \cdot \frac{112, 8^{\circ}}{360^{\circ}}

\Rightarrow

A_{Sektor GEH} \approx 190, 2

cm²

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Lösungen zu:

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Themen dieser Aufgabe:

Länge einer Strecke

Flächeninhalt eines Kreissektors

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