Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2011 Mathematik II Aufgabe B2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B2.4 (4 Punkte)

Das Tischset wird mit einer Borte eingefasst.
Bestimmen Sie rechnerisch den Umfang

u

der Figur, die durch die Strecken

[I A]

[A B]

und

[B F]

sowie die Kreisbögen

\overset{⌢}{G F}

\overset{⌢}{G H}

und

\overset{⌢}{I H}

begrenzt wird.

Lösung zu Aufgabe B2.4

Umfang einer Fläche

weitere Mittlere-Reife-Prüfungsaufgaben zu diesem Thema

Gegeben:

\bar{A B} = 60, 0

cm,

\bar{A D} = 35, 0

cm,

\bar{E K} = 13, 9

cm,

∡ G E H = 112, 8^{\circ}

Gesucht:

u

u = \bar{A I} + \bar{A B} + \bar{B F} + \overset{⌢}{G F} + \overset{⌢}{G H} + \overset{⌢}{H I}

Schritt einblenden / ausblenden

Gleichschenkliges Trapez

Da ein gleichschenkliges Trapez eine achsensymmetrische Figur ist, gilt:

\bar{B F} = \bar{A I}

und

\overset{⌢}{G F} = \overset{⌢}{H I}

Es gilt:

\bar{B F} = \bar{A I}

und

\overset{⌢}{G F} = \overset{⌢}{H I}

\Rightarrow

u = \bar{A B} + 2 \cdot \bar{A I} + 2 \cdot \overset{⌢}{H I} + \overset{⌢}{G H}

Berechnung von

\bar{A I}

\bar{A I} = \bar{A D} - \bar{D I}

|

\bar{D I} = \bar{D H}

\bar{A I} = 35, 0 - \bar{D H}

|

\bar{D H} = \bar{E D} - \bar{E H}

\bar{A I} = 35, 0 - (\bar{E D} - \bar{E H})

|

\bar{E H} = \bar{E K}

\bar{A I} = 35, 0 - \bar{E D} + \bar{E K}

\bar{A I} = 35, 0 - \bar{E D} + 13, 9

\bar{A I} = 48, 9 - \bar{E D}

Zur Berechnung von

\bar{E D}

betrachtet man das Dreieck

D E K

Schritt einblenden / ausblenden

Satz des Pythagoras

In jedem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten

a

und

b

und der Hypotenuse

c

gilt:

a^{2} + b^{2} = c^{2}

{\bar{E D}}^{2} = {\bar{E K}}^{2} + {\bar{D K}}^{2}

\Rightarrow

\bar{E D} = \sqrt{13, 9^{2} + 20, 9^{2}} \approx 25, 1

\Rightarrow

\bar{A I} = 48, 9 - \bar{E D}

= 48, 9 - 25, 1 = 23, 8

Berechnung von

\overset{⌢}{H I}

Schritt einblenden / ausblenden

Kreisbogen berechnen

Die Länge

b

eines Kreisbogens mit dem Mittelpunktswinkel

α

und dem Radius

r

lässt sich durch folgende Formel berechnen:

b = π \cdot r \cdot \frac{α}{180^{\circ}}

\overset{⌢}{H I} = π \cdot \bar{D H} \cdot \frac{∡ I D H}{180^{\circ}}

|

\bar{D H} = \bar{E D} - \bar{E H}

\overset{⌢}{H I} = π \cdot (\bar{E D} - \bar{E H}) \cdot \frac{∡ I D H}{180^{\circ}}

|

\bar{E H} = \bar{E K} = 13, 9

\overset{⌢}{H I} = π \cdot (25, 1 - 13, 9) \cdot \frac{∡ I D H}{180^{\circ}}

Berechnung von

∡ I D H

Schritt einblenden / ausblenden

Winkel berechnen

Verlängert man die Seite

[A D]

D

hinaus, so lässt sich der Winkel

∡ B A D = 75^{\circ},

erneut antragen (Stufenwinkel).

\Rightarrow ∡ I D H = 180^{\circ} - 75^{\circ} - 33, 6^{\circ}

(Nebenwinkel)

∡ I D H = 180^{\circ} - 75^{\circ} - 33, 6^{\circ} = 71, 4^{\circ}

\Rightarrow \overset{⌢}{H I} = π \cdot (25, 1 - 13, 9) \cdot \frac{71, 4^{\circ}}{180^{\circ}} \approx 14, 0

Berechnung von

\overset{⌢}{G H}

Schritt einblenden / ausblenden

Kreisbogen berechnen

Die Länge

b

eines Kreisbogens mit dem Mittelpunktswinkel

α

und dem Radius

r

lässt sich durch folgende Formel berechnen:

b = π \cdot r \cdot \frac{α}{180^{\circ}}

\overset{⌢}{G H} = π \cdot \bar{E K} \cdot \frac{∡ G E H}{180^{\circ}}

\Rightarrow

\overset{⌢}{G H} = π \cdot 13, 9 \cdot \frac{112, 8^{\circ}}{180^{\circ}} \approx 27, 4

\Rightarrow

u = \bar{A B} + 2 \cdot \bar{A I} + 2 \cdot \overset{⌢}{H I} + \overset{⌢}{G H}

\Rightarrow

u = 60, 0 + 2 \cdot 23, 8 + 2 \cdot 14, 0 + 27, 4

\Rightarrow

u = 163

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Aufgabe B2.3

Aufgabe B2.4

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Themen dieser Aufgabe:

Umfang einer Fläche

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