Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2012 Mathematik I Aufgabe B1

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B1.3 (2 Punkte)

Begründen Sie, warum sich für

[A_{n} D_{n}] ⊥ h

die obere Intervallgrenze

x = 3, 92

ergibt und bestätigen Sie diese durch Rechnung.

Lösung zu Aufgabe B1.3

Vektor bestimmen

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Wenn

[A_{n} D_{n}]

senkrecht auf

h

steht, so fallen die Punkte

B_{n}

und

D_{n}

zusammen.

\Rightarrow

Es werden keine Rauten mehr gebildet (obere Intervallgrenze).

Gegeben:

A_{n} (x | 2 x + 3, 5)

;

D_{n} (x + 4 | 0, 8 x + 3, 2)

Bestimmung von

\vec{A_{n} D_{n}}

Schritt einblenden / ausblenden

Richtungsvektor

Spitze minus Fuß

Die Berechnung eines Vektors

\vec{A B}

mit den Punkten

A (x_{A} | y_{A})

und

B (x_{B} | y_{B})

erfolgt nach der Technik "Spitze minus Fuß":

\vec{A B}

(\begin{matrix} x_{B} - x_{A} \\ y_{B} - y_{A} \end{matrix})

In unseren Fall gilt also:

\vec{A_{n} D_{n}}

(\begin{matrix} x_{D_{n}} - x_{A_{n}} \\ y_{D_{n}} - y_{A_{n}} \end{matrix})

\vec{A_{n} D_{n}} = (\begin{matrix} x + 4 - x \\ 0, 8 x + 3, 2 - (2 x + 3, 5) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \\ - 1, 2 x - 0, 3 \end{matrix})

Gegeben:

h : y = \frac{4}{5} x = 0, 8 x

Bestimmung des Richtungsvektors

\vec{v}

von

h

Schritt einblenden / ausblenden

Richtungsvektor

Der

x

-Wert des Richtungsvektors einer Geraden ist

1

, der

y

-Wert des Richtungsvektors ist die Steigung der Geraden.

\vec{v} = (\begin{matrix} 1 \\ \frac{4}{5} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0, 8 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Senkrechte Vektoren

Wenn zwei Vektoren aufeinander senkrecht stehen, dann ist das Skalarprodukt der beiden Vektoren gleich 0.

Da [

A_{n} D_{n}

]

⊥

h gilt also:

\vec{A_{n} D_{n}}

senkrecht zu Richtungsvektor

\vec{v}

\vec{A_{n} D_{n}} \circ \vec{v} = 0

(\begin{matrix} 4 \\ - 1, 2 x - 0, 3 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 1 \\ 0, 8 \end{matrix}) = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren

\vec{a} = (\binom{a_{1}}{a_{2}})

und

\vec{b} = (\binom{b_{1}}{b_{2}})

wird wie folgt dargestellt:

\vec{a} \circ \vec{b} = (\binom{a_{1}}{a_{2}}) \circ (\binom{b_{1}}{b_{2}})

=

a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2}

4 \cdot 1 + (- 1, 2 x - 0, 3) \cdot 0, 8 = 0

4 - 0, 96 x - 0, 24 = 0

3, 76 - 0, 96 x = 0

|

- 3, 76

- 0, 96 x = - 3, 76

|

: (- 0, 96)

x \approx 3, 92

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