Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2012 Mathematik I Aufgabe B1

Aufgabe B1.7 (2 Punkte)

In der Raute

A_{4} B_{4} C_{4} D_{4}

hat die Diagonale

[A_{4} C_{4}]

die gleiche Länge wie die Seite

[A_{4} D_{4}]

. Begründen Sie, dass für die Diagonale

[B_{4} D_{4}]

gilt:

\bar{B_{4} D_{4}} = \bar{A_{4} D_{4}} \cdot \sqrt{3}

Lösung zu Aufgabe B1.7

Länge einer Strecke

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Gegeben:

Die Diagonale

[B_{4} D_{4}]

ist genau doppelt so lang wie die Höhe

[B_{4} M_{4}]

([B_{4} M_{4}] = \frac{1}{2} \cdot [B_{4} D_{4}])

Also kommen wir über eine Berechnung der Höhe

[B_{4} M_{4}]

automatisch auf die Länge von

[B_{4} D_{4}]

Schritt einblenden / ausblenden

Höhe eines gleichseitigen Dreiecks

Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge

a

berechnet man mit folgender Formel:

h_{a} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot a

[B_{4} M_{4}] = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot [A_{4} D_{4}]

Schritt einblenden / ausblenden

Einsetzen

[B_{4} M_{4}] = \frac{1}{2} \cdot [B_{4} D_{4}]

wird in die Gleichung eingesetzt.

\frac{1}{2} \cdot [B_{4} D_{4}] = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot [A_{4} D_{4}]

|

\cdot 2

[B_{4} D_{4}] = \sqrt{3} \cdot [A_{4} D_{4}]

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