Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2012 Mathematik I Aufgabe B1

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B1.5 (3 Punkte)

Berechnen Sie den Flächeninhalt

A

der Rauten

A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}

in Abhängigkeit von der Abszisse

x

der Punkte

A_{n}

Lösung zu Aufgabe B1.5

Flächeninhalt einer Raute

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Da die Raute eine achsensymmetrische Figur ist, besteht ihre Gesamtfläche aus zwei flächengleichen Dreiecken.

Die Koordinaten der Punkte

A_{n}, C_{n}

und

D_{n}

sind bekannt:

A_{n} (x | 2 x + 3, 5)

C_{n} (2, 17 x + 3, 41 | 0, 54 x - 0, 77)

D_{n} (x + 4 | 0, 8 x + 3, 2)

Nun wird der Flächeninhalt der Dreicke

A_{n} C_{n} D_{n}

berechnet.

Schritt einblenden / ausblenden

Flächeninhalt eines Dreiecks

Wird ein beliebiges Dreieck von den Vektoren

\vec{u} = (\binom{u_{1}}{u_{2}})

und

\vec{v} = (\binom{v_{1}}{v_{2}})

aufgespannt, so lässt sich der Flächeninhalt mit einer Determinante berechnen:

A = \frac{1}{2} \cdot | \begin{matrix} u_{1} & v_{1} \\ u_{2} & v_{2} \end{matrix} |

Berechnung der Vektoren

\vec{D_{n} A_{n}}

und

\vec{D_{n} C_{n}}

, welche die Dreiecke

A_{n} C_{n} D_{n}

aufspannen:

Schritt einblenden / ausblenden

Richtungsvektor

Die Berechnung des Vektors

\vec{D_{n} A_{n}}

mit den Punkten

A_{n} (x_{A_{n}} | y_{A_{n}})

und

D_{n} (x_{D_{n}} | y_{D_{n}})

erfolgt nach der Technik "Spitze minus Fuß":

\vec{D_{n} A_{n}}

(\begin{matrix} x_{A_{n}} - x_{D_{n}} \\ y_{A_{n}} - y_{D_{n}} \end{matrix})

Analog wird der der Vektor

\vec{D_{n} C_{n}}

berechnet.

\vec{D_{n} A_{n}} = (\binom{x - (x + 4)}{2 x + 3, 5 - (0, 8 x + 3, 2)}) = (\binom{- 4}{1, 2 x + 0, 3})

\vec{D_{n} C_{n}} = (\binom{2, 17 x + 3, 41 - (x + 4)}{0, 54 x - 0, 77 - (0, 8 x + 3, 2)}) = (\binom{1, 17 x - 0, 59}{- 0, 26 x - 3, 97})

A_{Δ A_{n} C_{n} D_{n}} (x) = \frac{1}{2} \cdot | \begin{matrix} - 4 & 1, 17 x - 0, 59 \\ 1, 2 x + 0, 3 & - 0, 26 x - 3, 97 \end{matrix} |

Flächeninhalt der Raute:

A_{A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}} (x) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot | \begin{matrix} - 4 & 1, 17 x - 0, 59 \\ 1, 2 x + 0, 3 & - 0, 26 x - 3, 97 \end{matrix} |

A_{A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}} (x) = | \begin{matrix} - 4 & 1, 17 x - 0, 59 \\ 1, 2 x + 0, 3 & - 0, 26 x - 3, 97 \end{matrix} |

Schritt einblenden / ausblenden

Determinante berechnen

| \begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix} | = a \cdot d - b \cdot c

A_{A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}} (x) = - 4 \cdot (- 0, 26 x - 3, 97) - (1, 2 x + 0, 3) \cdot (1, 17 x - 0, 59)

A_{A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}} (x) = 1, 04 x + 15, 88 - 1, 40 x^{2} + 0, 71 x - 0, 35 x + 0, 18)

A_{A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}} (x) = (- 1, 4 x^{2} + 1, 4 x + 16, 06)

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Themen dieser Aufgabe:

Flächeninhalt einer Raute

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