Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2012 Mathematik I Aufgabe B1

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B1.4 (3 Punkte)

Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten der Punkte

C_{n}

in Abhängigkeit von der Abszisse

x

der Punkte

A n

.
[Ergebnis:

C_{n} (2, 17 x + 3, 41 | 0, 54 x - 0, 77)

]

Lösung zu Aufgabe B1.4

Spiegelung an einer Ursprungsgeraden

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Punkte

C_{n}

entstehen durch Spiegelung der Punkte

A_{n}

an der Geraden

h

.

Gegeben:

h : y = 0, 8 x

Schritt einblenden / ausblenden

Schnittwinkel

Für die Berechnung der Spiegelungsmatrix muss zuerst der Winkel

α

bestimmt werden, den die Gerade

h

mit der

x

-Achse einschließt.

Spiegelwinkel

α

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Schnittwinkel

Für den Winkel

α

, den eine Gerade

g : y = m x + t

mit der

x

-Achse einschließt, gilt:

m = \tan α

\tan α = 0, 8

\Rightarrow

α \approx 38, 66^{\circ}

Spiegelungsmatrix bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Spiegelung

Ist

α

der Winkel, den die Spiegelungsgerade mit der x-Achse einschließt, so lautet die entsprechende Spiegelungsmatrix:

(\begin{matrix} \cos 2 α & \sin 2 α \\ \sin 2 α & - \cos 2 α \end{matrix})

(\begin{matrix} \cos 2 \cdot 38, 66^{\circ} & \sin 2 \cdot 38, 66^{\circ} \\ \sin 2 \cdot 38, 66^{\circ} & - \cos 2 \cdot 38, 66^{\circ} \end{matrix})

(\begin{matrix} \cos 77, 32^{\circ} & \sin 77, 32^{\circ} \\ \sin 77, 32^{\circ} & - \cos 77, 32^{\circ} \end{matrix})

Gegeben:

A_{n} (x | 2 x + 3, 5)

Anwenden der Spiegelungsmatrix auf die Punkte

A_{n}

(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \cos 77, 32^{\circ} & \sin 77, 32^{\circ} \\ \sin 77, 32^{\circ} & - \cos 77, 32^{\circ} \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} x \\ 2 x + 3, 5 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Matrizenmultiplikation

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} a \cdot x + b \cdot y \\ c \cdot x + d \cdot y \end{matrix})

(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \cos 77, 32^{\circ} \cdot x + \sin 77, 32^{\circ} \cdot (2 x + 3, 5) \\ \sin 77, 32^{\circ} \cdot x - \cos 77, 32^{\circ} \cdot (2 x + 3, 5) \end{matrix})

(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \cos 77, 32^{\circ} \cdot x + 2 \sin 77, 32^{\circ} \cdot x + 3, 5 \cdot \sin 77, 32^{\circ} \\ \sin 77, 32^{\circ} \cdot x - 2 \cos 77, 32^{\circ} \cdot x - 3, 5 \cdot \cos 77, 32^{\circ} \end{matrix})

(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} (\cos 77, 32^{\circ} + 2 \sin 77, 32^{\circ}) \cdot x + 3, 5 \cdot \sin 77, 32^{\circ} \\ (\sin 77, 32^{\circ} - 2 \cos 77, 32^{\circ}) \cdot x - 3, 5 \cdot \cos 77, 32^{\circ} \end{matrix})

(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2, 17 x + 3, 41 \\ 0, 54 x - 0, 77 \end{matrix})

\Rightarrow

C_{n} (2, 17 x + 3, 41 | 0, 54 x - 0, 77)

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Themen dieser Aufgabe:

Spiegelung an einer Ursprungsgeraden

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