Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2017 Mathematik II Aufgabe B2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B2.2 (3 Punkte)

Berechnen Sie das Maß

β

des Winkels

C B A

, das Maß

ϵ

des Winkels

B A D

und die Länge der Strecke

[A D]

[Ergebnisse: β = 48, 36^{\circ}, ϵ = 41, 64^{\circ}]

Lösung zu Aufgabe B2.2

Winkel bestimmen

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Gegeben:

\bar{A B} = 10 cm

\bar{A C} = 8 cm

\bar{B C} = 9, 5 cm

Gesucht:

∡ C B A = β

∡ B A D = ϵ

und

\bar{A D}

Der Winkel

β

wird mit dem Kosinussatz berechnet.

Schritt einblenden / ausblenden

Kosinussatz

Sind in einem beliebigen Dreieck zwei Seiten

b

und

c

und der von diesen Seiten eingeschlossene Winkel

α

gegeben, so kann der Kosinussatz angewendet werden:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos α$

{\bar{A C}}^{2} = {\bar{A B}}^{2} + {\bar{B C}}^{2} - 2 \cdot \cos β \cdot \bar{A B} \cdot \bar{B C}

|

+ 2 \cdot \cos β \cdot \bar{A B} \cdot \bar{B C}

{\bar{A C}}^{2} + 2 \cdot \cos β \cdot \bar{A B} \cdot \bar{B C} = {\bar{A B}}^{2} + {\bar{B C}}^{2}

|

- {\bar{A C}}^{2}

2 \cdot \cos β \cdot \bar{A B} \cdot \bar{B C} = {\bar{A B}}^{2} + {\bar{B C}}^{2} - {\bar{A C}}^{2}

|

: (2 \cdot \bar{A B} \cdot \bar{B C})

\cos β = \frac{{\bar{A B}}^{2} + {\bar{B C}}^{2} - {\bar{A C}}^{2}}{2 \cdot \bar{A B} \cdot \bar{B C}}

\cos β = \frac{10^{2} + 9, 5^{2} - 8^{2}}{2 \cdot 10 \cdot 9, 5}

|

\cos^{- 1}

β = 48, 36^{\circ}

Schritt einblenden / ausblenden

Winkelsumme im Dreieck

Die Summe der Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks ist immer gleich

180^{\circ}

.

Im rechtwinkligen Dreieck

A B D

gilt:

ϵ + 90^{\circ} + β = 180^{\circ}

Im rechtwinkligen Dreieck

A B D

gilt:

ϵ = 180^{\circ} - β - 90^{\circ} = 180^{\circ} - 48, 36 - 90^{\circ} = 41, 64^{\circ}

Zur Berechnung von

\bar{A D}

wird ebenfalls das rechtwinklige Dreieck

A B D

herangezogen.

Schritt einblenden / ausblenden

Sinus eines Winkels

Der Sinus eines Winkels

α

ist ein Seitenverhältnis.

\sin α = \frac{Gegenkathete zu α}{Hypotenuse}

Gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken.

\sin β = \frac{\bar{A D}}{\bar{A B}}

\sin 48, 36^{\circ} = \frac{\bar{A D}}{10}

| \cdot 10

\bar{A D} = 10 \cdot \sin 48, 36^{\circ}

\bar{A D} = 7, 47 cm

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