Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2017 Mathematik II Aufgabe B2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B2.3 (4 Punkte)

Der Punkt

G

auf der Verlängerung der Strecke

[B C]

über

C

hinaus ist ein Eckpunkt des Dreiecks

A B G

. Der Winkel

B A G

hat das Maß

70^{\circ}

.
Zeichnen Sie das Dreieck

A B G

und berechnen Sie die Länge der Strecke

[C G]

Lösung zu Aufgabe B2.3

Skizze

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Schritt einblenden / ausblenden

Einzeichnen

1) Verlängerung der Strecke

[B C]

um den Punkt

C

hinaus.

2) Antragen des Winkels

∡ B A G = 70^{\circ}

am Punkt

A

.

3) Antragen des Punktes

G

an der Schnittstelle zwischen Winkelschenkel und der Verlängerung der Seite

[B D]

.

4) Einzeichnen des Dreiecks

A B G

Länge einer Strecke

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Gesucht:

\bar{C G}

Es gilt:

\bar{C G} = \bar{B G} - \bar{B C}

Somit muss als erstes die Steckenlänge

\bar{B G}

berechnet werden.

Schritt einblenden / ausblenden

Sinussatz

In jedem Dreieck haben die Quotienten aus der Länge einer Seite und dem Sinuswert ihres Gegenwinkels denselben Wert. Es gilt:

\frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β} = \frac{c}{\sin γ}

Anders formuliert:

\frac{a}{b} = \frac{\sin α}{\sin β}

\frac{a}{c} = \frac{\sin α}{\sin γ}

\frac{b}{c} = \frac{\sin β}{\sin γ}

Im Dreieck

A B G

gilt somit:

\frac{\bar{A B}}{\sin ∡ A G B} = \frac{\bar{B G}}{\sin ∡ B A G} = \frac{\bar{G A}}{\sin ∡ G B A}

\frac{\bar{A B}}{\sin ∡ A G B} = \frac{\bar{B G}}{\sin ∡ B A G}

Der Winkel

∡ B A G = 70^{\circ}

ist bereits gegeben.

Zur Berechnung des Winkels

∡ A G B

wird das Dreieck

A B G

herangezogen:

Schritt einblenden / ausblenden

Winkelsumme im Dreieck

Die Summe der Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks ist immer gleich

180^{\circ}

∡ A G B = 180^{\circ} - ∡ B A G - β

∡ A G B = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 48, 36^{\circ}

∡ A G B = 61, 64^{\circ}

Nach Einsetzen der beiden Winkel

∡ B A G = 70^{\circ}

∡ A G B = 61, 64^{\circ}

und der Streckenlänge

\bar{A B} = 10 cm

ergibt sich:

\frac{10}{\sin 61, 64^{\circ}} = \frac{\bar{B G}}{\sin 70^{\circ}}

| \cdot \sin 70^{\circ}

\bar{B G} = \frac{10 \cdot \sin 70^{\circ}}{\sin 61, 64^{\circ}}

\bar{B G} = 10, 68 cm

Mithilfe der Strecke

\bar{B G} = 10, 68 cm

kann nun

\bar{C G}

berechnet werden.

\bar{C G} = \bar{B G} - \bar{B C} = 10, 68 - 9, 5 = 1, 18 cm

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