Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2017 Mathematik II Aufgabe B2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B2.5 (3 Punkte)

Berechnen Sie das Maß

φ

des Winkels

A M B

und den Inkreisradius

r = \bar{M E}

[Ergebnisse: φ = 135^{\circ}, r = 2, 06 cm]

Lösung zu Aufgabe B2.5

Winkel bestimmen

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Gegeben:

β = 48, 36^{\circ}

und

ϵ = 41, 64^{\circ}

Gesucht:

∡ A M B = φ

Schritt einblenden / ausblenden

Winkelsumme im Dreieck

Die Summe der Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks ist immer gleich

180^{\circ}

.

Da sich der Inkreismittelpunkt eines Dreiecks als Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ergibt, gilt im Dreieck

A B M

\frac{ϵ}{2} + \frac{β}{2} + φ = 180^{\circ}

\frac{ϵ}{2} + \frac{β}{2} + φ = 180^{\circ}

|

- \frac{ϵ}{2} - \frac{β}{2}

φ = 180^{\circ} - \frac{ϵ}{2} - \frac{β}{2}

φ = 180^{\circ} - \frac{41, 64^{\circ}}{2} - \frac{48, 36^{\circ}}{2}

φ = 135^{\circ}

Länge einer Strecke

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Berechnung des Inkreisradius

r = \bar{M E}

:

Man betrachtet das rechtwinklige Dreieck

A E M

Schritt einblenden / ausblenden

Sinus eines Winkels

Der Sinus eines Winkels

α

ist ein Seitenverhältnis.

\sin α = \frac{Gegenkathete zu α}{Hypotenuse}

Gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken.

\sin \frac{ϵ}{2} = \frac{\bar{M E}}{\bar{A M}}

Um die Länge der Strecke

\bar{M E}

bestimmten zu können muss als erstes die Streckenläng

\bar{A M}

berechnet werden.

Im Dreieck

A B M

gilt:

Schritt einblenden / ausblenden

Sinussatz

In jedem Dreieck haben die Quotienten aus der Länge einer Seite und dem Sinuswert ihres Gegenwinkels denselben Wert. Es gilt:

\frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β} = \frac{c}{\sin γ}

Anders formuliert:

\frac{a}{b} = \frac{\sin α}{\sin β}

\frac{a}{c} = \frac{\sin α}{\sin γ}

\frac{b}{c} = \frac{\sin β}{\sin γ}

Im Dreieck

A B M

gilt somit:

\frac{\bar{A B}}{\sin φ} = \frac{\bar{A M}}{\sin \frac{β}{2}} = \frac{\bar{B M}}{\sin \frac{δ}{2}}

\frac{\bar{A B}}{\sin φ} = \frac{\bar{A M}}{\sin \frac{β}{2}}

\frac{10}{\sin 135^{\circ}} = \frac{\bar{A M}}{\sin \frac{48, 36^{\circ}}{2}}

|

\cdot \sin \frac{48, 36^{\circ}}{2}

\bar{A M} = \frac{10 \cdot \sin \frac{48, 36^{\circ}}{2}}{\sin 135^{\circ}}

\Rightarrow

\bar{A M} = 5, 79 cm

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

\bar{A M} = 5, 79 cm

kann nun in

\sin \frac{ϵ}{2} = \frac{\bar{M E}}{\bar{A M}}

eingesetzt werden um

\bar{M E}

zu berechnen.

\sin \frac{41, 64^{\circ}}{2} = \frac{\bar{M E}}{5, 79}

| \cdot 5, 79

\bar{M E} = \sin \frac{41, 64^{\circ}}{2} \cdot 5, 79

\Rightarrow

\bar{M E} = 2, 06 cm

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Lösungen zu:

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Winkel bestimmen

Länge einer Strecke

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