Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2017 Mathematik II Aufgabe B2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B2.6 (4 Punkte)

Berechnen Sie den Flächeninhalt

A

des Flächenstücks

A E F

, das vom Kreisbogen

\overset{⌢}{F E}

sowie von den Strecken

[E A]

und

[A F]

begrenzt wird.

Lösung zu Aufgabe B2.6

Flächenberechnung

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A_{A E F} = A_{A E M F} - A_{E M F}

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Erläuterung

Es gilt:

A_{A E M F} = 2 \cdot A_{A M E}

, da die Dreiecke

A E M

und

A M F

kongruent sind.

A_{A E M F} = 2 \cdot A_{A M E}

Schritt einblenden / ausblenden

Flächeninhalt eines Dreiecks

Sind in einem beliebigem Dreieck

A B C

zwei Seiten

a

und

b

und der Winkel

α

, der von beiden Seiten eingeschlossen wird, bekannt, so gilt für den Flächeninhalt

A

des Dreiecks:

A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin α

A_{A E M F} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \bar{A M} \cdot \bar{M E} \cdot \sin ∡ A M E

Schritt einblenden / ausblenden

Winkelsumme im Dreieck

Die Summe der Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks ist immer gleich

180^{\circ}

∡ A M E = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \frac{ϵ}{2} = 90^{\circ} - \frac{41, 64^{\circ}}{2} = 69, 18^{\circ}

Damit ergibt sich:

A_{A E M F} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 5, 79 \cdot 2, 06 \cdot \sin 69, 18^{\circ}

A_{A E M F} = 11, 14 {cm}^{2}

Es folgt die Berechnung des Flächeninhaltes des Sekotrs

A_{E M F}

Schritt einblenden / ausblenden

Flächeninhalt eines Kreissektors

Der Flächeninhalt

A

eines Kreissektors wird gemäß der Formel

A = r^{2} \cdot π \cdot \frac{α}{360^{\circ}}

berechnet.

r^{2} \cdot π

ist der Flächeninhalt des ganzen Kreises.

\frac{α}{360^{\circ}}

gibt den Anteil des Kreissektors am ganzen Kreis an

A_{E M F} = {\bar{M E}}^{2} \cdot π \cdot \frac{2 \cdot ∡ A M E}{360^{\circ}}

A_{E M F} = 2, 06^{2} \cdot π \cdot \frac{2 \cdot 69, 18^{\circ}}{360^{\circ}}

A_{E M F} = 5, 12 {cm}^{2}

damit ergibt sich für die gesuchte Fläche:

A_{A E F} = A_{A E M F} - A_{E M F}

A_{A E F} = 11, 14 {cm}^{2} - 5, 12 {c m}^{2}

A_{A E F} = 6, 02 {cm}^{2}

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Themen dieser Aufgabe:

Flächenberechnung

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