Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2008 Mathematik I Aufgabe A1

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe A1.2 (4 Punkte)

Der Graph der Funktion

f

wird durch Parallelverschiebung mit dem Vektor

\vec{v} = (\binom{a}{4})

mit

a \in ℝ

auf den Graphen der Funktion

f^{'}

abgebildet. Der Punkt

P^{'} (0 | 4)

liegt auf dem Graphen zu

f^{'}

.
Berechnen Sie den Wert von

a

.
Ermitteln Sie sodann die Gleichung der Funktion

f^{'}

durch Rechnung und zeichnen Sie den Graphen zu

f^{'}

in das Koordinatensystem zu 1.1 ein.

Lösung zu Aufgabe A1.2

Verschiebung um einen Vektor

weitere Mittlere-Reife-Prüfungsaufgaben zu diesem Thema

Parameter $a$ bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Wegen der Parallelverschiebung gilt:

\vec{f^{'}} = \vec{f} + \vec{v}

Da der Punkt

P^{'}

auf dem Graphen zu

f^{'}

liegt, folgt:

\vec{P^{'}} = \vec{f} + \vec{v}

\underset{\vec{P^{'}}}{\underset{︸}{(\binom{0}{4})}} = \underset{\vec{f}}{\underset{︸}{(\binom{x}{2 \cdot \log_{3} (x + 1) - 2})}} + \underset{\vec{v}}{\underset{︸}{(\binom{a}{4})}}

Schritt einblenden / ausblenden

Vektoraddition

Vektoren werden zeilenweise addiert:

(\binom{x_{1}}{y_{1}}) + (\binom{x_{2}}{y_{2}}) = (\binom{x_{1} + x_{2}}{y_{1} + y_{2}})

z.B.

(\binom{2}{1}) + (\binom{3}{6}) = (\binom{5}{7})

(\binom{0}{4}) = (\binom{x + a}{2 \cdot \log_{3} (x + 1) + 2})

\Leftrightarrow

\begin{matrix} (I) & 0 & = & x + a \\ (II) & 4 & = & 2 \cdot \log_{3} (x + 1) + 2 \end{matrix}

Aus Gleichung (I) folgt:

x = - a

x = - a

in Gleichung (II) einsetzen und nach

a

auflösen:

4 = 2 \cdot \log_{3} (- a + 1) + 2

|

- 2

2 = 2 \cdot \log_{3} (- a + 1)

|

: 2

1 = \log_{3} (- a + 1)

|

entlogarithmieren

Schritt einblenden / ausblenden

Entlogarithmieren

Der Logarithmus

\log_{3}

kann durch die Exponentialfunktion

3^{x}

aufgehoben werden.

Beispiel:

\log_{3} x = 1

\Leftrightarrow

3^{\log_{3} x} = 3^{1}

\Leftrightarrow

x = 3

3 = - a + 1

|

- 1

2 = - a

\Rightarrow

a = - 2

\Rightarrow

\vec{v} = (\binom{- 2}{4})

Gleichung von $f^{'}$ bestimmen:

(\binom{x^{'}}{y^{'}}) = (\binom{x}{2 \cdot \log_{3} (x + 1) - 2}) + (\binom{- 2}{4})

(\binom{x^{'}}{y^{'}}) = (\binom{x - 2}{2 \cdot \log_{3} (x + 1) + 2})

\Leftrightarrow

\begin{matrix} (I) & x^{'} & = & x - 2 \\ (II) & y^{'} & = & 2 \cdot \log_{3} (x + 1) + 2 \end{matrix}

Aus Gleichung (I) folgt:

x = x^{'} + 2

x = x^{'} + 2

in Gleichung (II) einsetzen:

y^{'} = 2 \cdot \log_{3} (x^{'} + 3) + 2

Schritt einblenden / ausblenden

Einsetzen

Anstelle von

y^{'}

und

x^{'}

wird

y

und

x

geschrieben.

\Rightarrow

y = 2 \cdot \log_{3} (x + 3) + 2

Skizze

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Graphen zu

f^{'}

einzeichnen:

Schritt einblenden / ausblenden

Einzeichnen

Der Graph zu

f^{'}

kann durch das Erstellen einer Wertetabelle (wie in Aufgabe A1.1) eingezeichnet werden oder durch das Verschieben aller Punkte auf dem Graphen zu

f

um den Vektor

\vec{v} = (\binom{- 2}{4})

(siehe Beispiel in der Zeichnung).

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Lösungen zu:

Aufgabe A1.1

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Themen dieser Aufgabe:

Verschiebung um einen Vektor

Skizze

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