Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2008 Mathematik I Aufgabe A1

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe A1.6 (3 Punkte)

Die Raute

A_{4} B_{4} C_{4} D_{4}

hat den Flächeninhalt

10

FE.
Berechnen Sie die

x

-Koordinate des Punktes

C_{4}

auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

Lösung zu Aufgabe A1.6

Länge eines Vektors

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Aus Teilaufgabe 1.3 sind bekannt:

A_{n} (x^{\begin{matrix}  \end{matrix}} | 2 \cdot \log_{3} (x + 1) - 2)

;

C_{n} (x^{\begin{matrix}  \end{matrix}} | 2 \cdot \log_{3} (x + 3) + 2)

Länge der Strecke

[A_{n} C_{n}]

(Länge der Diagonale) bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Da die Punkte

A_{n}

und

C_{n}

die selbe Abszisse

x

haben, ist die Länge der Strecke

[A_{n} C_{n}]

gleich der Differenz der

y

-Werte.
Man nimmt die

y

-Koordinate des höher gelegenen Punktes minus die

y

-Koordinate des anderen Punktes.

\bar{A_{n} C_{n}} = \underset{y_{C_{n}}}{\underset{︸}{2 \cdot \log_{3} (x + 3) + 2}} - \underset{y_{A_{n}}}{\underset{︸}{[2 \cdot \log_{3} (x + 1) - 2]}}

\bar{A_{n} C_{n}} = 2 \cdot \log_{3} (x + 3) - 2 \cdot \log_{3} (x + 1) + \overset{4}{\overset{︷}{2 + 2}}

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Der gemeinsame Faktor

2

wird ausgeklammert.

\bar{A_{n} C_{n}} = 2 \cdot [\log_{3} (x + 3) - \log_{3} (x + 1)] + 4

Schritt einblenden / ausblenden

Logarithmus eines Quotienten

\log_{a} (\frac{s}{t}) = \log_{a} (s) - \log_{a} (t)

\bar{A_{n} C_{n}} = 2 \cdot \log_{3} (\frac{x + 3}{x + 1}) + 4

Flächeninhalt einer Raute

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A_{A_{4} B_{4} C_{4} D_{4}} = 10

Schritt einblenden / ausblenden

Flächeninhalt einer Raute

Eine Raute mit Diagonalen

e

und

f

hat einen Flächeninhalt von:

A = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f

\frac{1}{2} \cdot \bar{B_{4} D_{4}} \cdot \bar{A_{4} C_{4}} = 10

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Aus Teilaufgabe 1.3 ist bekannt:

\bar{B_{n} D_{n}} = 3

\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot [2 \cdot \log_{3} (\frac{x + 3}{x + 1}) + 4] = 10

|

Klammer auslösen

3 \cdot \log_{3} (\frac{x + 3}{x + 1}) + 6 = 10

|

- 6

3 \cdot \log_{3} (\frac{x + 3}{x + 1}) = 4

|

\cdot \frac{1}{3}

\log_{3} (\frac{x + 3}{x + 1}) = \frac{4}{3}

|

entlogarithmieren

Schritt einblenden / ausblenden

Entlogarithmieren

Der Logarithmus

\log_{3}

kann durch die Exponentialfunktion

3^{x}

aufgehoben werden.

Beispiel:

\log_{3} x = \frac{4}{3}

\Leftrightarrow

3^{\log_{3} x} = 3^{\frac{4}{3}}

\Leftrightarrow

x = 3^{\frac{4}{3}}

\frac{x + 3}{x + 1} = 3^{\frac{4}{3}}

|

\cdot (x + 1)

x + 3 = 3^{\frac{4}{3}} \cdot (x + 1)

x + 3 = 3^{\frac{4}{3}} \cdot x + 3^{\frac{4}{3}}

|

- 3 - 3^{\frac{4}{3}} \cdot x

x - 3^{\frac{4}{3}} \cdot x = 3^{\frac{4}{3}} - 3

|

x

ausklammern

x \cdot (1 - 3^{\frac{4}{3}}) = 3^{\frac{4}{3}} - 3

|

: (1 - 3^{\frac{4}{3}})

x = \frac{3^{\frac{4}{3}} - 3}{1 - 3^{\frac{4}{3}}}

\Rightarrow

x_{C_{3}} \approx - 0, 40

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Länge eines Vektors

Flächeninhalt einer Raute

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