Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2008 Mathematik I Aufgabe A1

Aufgabe A1.4 (2 Punkte)

Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Koordinaten der Diagonalenschnittpunkte

M_{n}

der Rauten

A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}

in Abhängigkeit von der Abszisse

x

der Punkte

A_{n}

und

C_{n}

gilt:

M_{n} (x | \log_{3} (x^{2} + 4 x + 3))

Lösung zu Aufgabe A1.4

Mittelpunkt einer Strecke

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Aus Teilaufgabe 1.3:

A_{n} (x | 2 \cdot \log_{3} (x + 1) - 2)

;

C_{n} (x | 2 \cdot \log_{3} (x + 3) + 2)

Schritt einblenden / ausblenden

Eigenschaften einer Raute

Die Diagonalen

e

und

f

einer Raute stehen senkrecht aufeinander und halbieren sich.

M_{n}

ist somit Mittelpunkt der Diagonale

[A_{n} C_{n}]

M_{n}

ist Mittelpunkt der Strecke

[A_{n} C_{n}]

Schritt einblenden / ausblenden

Mittelpunkt einer Strecke

Der Mittelpunkt

M

einer Strecke

[A B]

mit

A (x_{1} | y_{1})

und

B (x_{2} | y_{2})

ist gegeben durch:

M (\frac{x_{1} + x_{2}}{2} | \frac{y_{1} + y_{2}}{2})

M_{n} (\frac{x + x}{2} | \frac{2 \cdot \log_{3} (x + 1) - 2 + 2 \cdot \log_{3} (x + 3) + 2}{2})

Schritt einblenden / ausblenden

Rechenweg

\frac{2 \cdot \log_{3} (x + 1) + 2 \cdot \log_{3} (x + 3) \overset{0}{\overset{︷}{- 2 + 2}}}{2}

\frac{2 \cdot [\log_{3} (x + 1) + \log_{3} (x + 3)]}{2}

\log_{3} (x + 1) + \log_{3} (x + 3)

M_{n} (x^{\begin{matrix}  \end{matrix}} | \log_{3} (x + 1) + \log_{3} (x + 3))

Schritt einblenden / ausblenden

Logarithmus eines Produkts

\log_{a} (s \cdot t) = \log_{a} (s) + \log_{a} (t)

M_{n} (x^{\begin{matrix}  \end{matrix}} | \log_{3} [(x + 1) \cdot (x + 3)])

Schritt einblenden / ausblenden

Rechenweg

\begin{matrix} (x + 1) \cdot (x + 3) & = & x^{2} + 3 x + x + 3 \\ = & x^{2} + 4 x + 3 \end{matrix}

M_{n} (x^{\begin{matrix}  \end{matrix}} | \log_{3} (x^{2} + 4 x + 3))

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