Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2008 Mathematik I Aufgabe A1

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe A1.5 (3 Punkte)

Der Diagonalenschnittpunkt

M_{3}

der Raute

A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}

liegt auf der

x

-Achse.
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes

C_{3}

. Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.

Lösung zu Aufgabe A1.5

Koordinaten von Punkten ermitteln

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M_{n} (x^{\begin{matrix}  \end{matrix}} | \log_{3} (x^{2} + 4 x + 3))

(bekannt aus Teilaufgabe 1.4)

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

M_{3}

liegt auf der

x

-Achse.
Die

y

-Koordinate eines Punktes, der auf der

x

-Achse liegt, ist gleich Null.

M_{3} (x | 0)

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Die allgemeine

y

-Koordinate der Punkte

M_{n}

ist gleich

\log_{3} (x^{2} + 4 x + 3)

. Gesucht ist für welches

x

diese Koordinate gleich Null ist.

\log_{3} (x^{2} + 4 x + 3) = 0

|

entlogarithmieren

Schritt einblenden / ausblenden

Entlogarithmieren

Der Logarithmus

\log_{3}

kann durch die Exponentialfunktion

3^{x}

aufgehoben werden.

Beispiel:

\log_{3} x = 0

\Leftrightarrow

3^{\log_{3} x} = 3^{0}

\Leftrightarrow

x = 1

x^{2} + 4 x + 3 = 1

|

- 1

x^{2} + 4 x + 2 = 0

|

Mitternachtsformel anwenden oder mit Taschenrechner lösen

Schritt einblenden / ausblenden

Mitternachtsformel - Lösungsformel für quadratische Gleichungen

a x^{2} + b x + c = 0

\Rightarrow

x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

Hier:

x_{1, 2} = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{- 4 \pm \sqrt{8}}{2}

x_{1} \approx - 0, 59

und

x_{2} \approx - 3, 41

x_{2} \notin D_{f} =] - 1; \infty [

\Rightarrow

x_{2}

ist keine Lösung.

\Rightarrow

M_{3} (- 0, 59 | 0)

C_{n} (x | 2 \cdot \log_{3} (x + 3) + 2)

(bekannt aus Teilaufgabe 1.3)

Schritt einblenden / ausblenden

Einsetzen

x_{1} = - 0, 59

wird in

C_{n} (x^{\begin{matrix}  \end{matrix}} | 2 \cdot \log_{3} (x + 3) + 2)

eingesetzt um die Koordinaten von

C_{3}

zu bestimmen, da die Punkte

M_{3}

und

C_{3}

die selbe Abszisse

x

haben.

\Rightarrow

C_{3} (- 0, 59 | 3, 60)

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