Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2008 Mathematik I Aufgabe B1

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B1.5 (4 Punkte)

Zeigen Sie durch Rechnung, dass für den Flächeninhalt

A

der Dreiecke

A_{n} B_{n} C_{n}

in Abhängigkeit von der Abszisse

x

der Punkte

A_{n}

und

B_{n}

gilt:

A (x) = {(- 3 \cdot {(\frac{1}{2})}^{x + 5} + 3)}^{2}

FE.

Lösung zu Aufgabe B1.5

Flächeninhalt eines Dreiecks

weitere Mittlere-Reife-Prüfungsaufgaben zu diesem Thema

Schritt einblenden / ausblenden

Flächeninhalt eines Dreiecks

Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist stets gegeben durch:

A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{a}

h_{a}

ist die zur (Grund-)Seite

a

zugehörige Höhe.

A (x) = \frac{1}{2} \cdot \bar{A_{n} B_{n}} \cdot \underset{\frac{1}{2} \cdot \bar{A_{n} B_{n}}}{\underset{︸}{\bar{M_{n} C_{n}}}}

Schritt einblenden / ausblenden

Thaleskreis

[M_{n} C_{n}]

ist der Radius des Thaleskreises über

[A_{n} B_{n}]

\Rightarrow

\bar{M_{n} C_{n}} = \frac{1}{2} \cdot \bar{A_{n} B_{n}}

A (x) = \frac{1}{2} \cdot \bar{A_{n} B_{n}} \cdot \frac{1}{2} \cdot \bar{A_{n} B_{n}}

A (x) = \frac{1}{4} \cdot {\bar{A_{n} B_{n}}}^{2}

Schritt einblenden / ausblenden

Länge einer Strecke

Die Länge der Strecke

[A_{n} B_{n}]

entspricht der Differenz der

y

-Koordinaten von

A_{n}

und

B_{n}

, da sie die selbe Abszisse

x

haben.

y_{A_{n}} = - {(\frac{1}{2})}^{x + 4} + 2

(A_{n} \in f)

y_{B_{n}} = {(\frac{1}{2})}^{x + 3} - 4

(B_{n} \in f^{'})

y_{A_{n}} - Y_{B_{n}} = - {(\frac{1}{2})}^{x + 4} + 2 - ({(\frac{1}{2})}^{x + 3} - 4)

A (x) = \frac{1}{4} \cdot {[- {(\frac{1}{2})}^{x + 4} + 2 - {(\frac{1}{2})}^{x + 3} + 4]}^{2}

Schritt einblenden / ausblenden

Potenzregeln

Die Regel die verwendet wird:

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}

Beisspiel:

{(\frac{1}{2})}^{x + 4} = {(\frac{1}{2})}^{x} {(\frac{1}{2})}^{4}

A (x) = {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot {[- {(\frac{1}{2})}^{x} {(\frac{1}{2})}^{4} - {(\frac{1}{2})}^{x} {(\frac{1}{2})}^{3} + 6]}^{2}

A (x) = {[\frac{1}{2} \cdot (- {(\frac{1}{2})}^{x} {(\frac{1}{2})}^{4} - {(\frac{1}{2})}^{x} {(\frac{1}{2})}^{3} + 6)]}^{2}

|

innere Klammer auflösen

Schritt einblenden / ausblenden

Potenzregeln

Die Regel die verwendet wird:

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}

Wenn die Basen (a) gleich sind, dann können die Exponenten (m,n) addiert werden.

Beispiel:

\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{4} = {(\frac{1}{2})}^{1} \cdot {(\frac{1}{2})}^{4} = {(\frac{1}{2})}^{1 + 4} = {(\frac{1}{2})}^{5}

A (x) = {[- {(\frac{1}{2})}^{x} {(\frac{1}{2})}^{5} - {(\frac{1}{2})}^{x} {(\frac{1}{2})}^{4} + 3]}^{2}

|

- {(\frac{1}{2})}^{x}

ausklammern

A (x) = {[- {(\frac{1}{2})}^{x} \cdot [\underset{1 / 32}{\underset{︸}{{(\frac{1}{2})}^{5}}} + \underset{2 / 32}{\underset{︸}{{(\frac{1}{2})}^{4}}}] + 3]}^{2}

Schritt einblenden / ausblenden

Rechenweg

{(\frac{1}{2})}^{5} + {(\frac{1}{2})}^{4} = \frac{1}{32} + \frac{1}{16} = \frac{1}{32} + \frac{2}{32} = \frac{3}{32}

A (x) = {[- {(\frac{1}{2})}^{x} \cdot \underset{3 \cdot {(1 / 2)}^{5}}{\underset{︸}{\frac{3}{32}}} + 3]}^{2}

Schritt einblenden / ausblenden

Rechenweg

\frac{3}{32} = 3 \cdot \frac{1}{32} = 3 \cdot {(\frac{1}{2})}^{5}

A (x) = {[- 3 {(\frac{1}{2})}^{x} {(\frac{1}{2})}^{5} + 3]}^{2}

Schritt einblenden / ausblenden

Potenzregeln

Die Regel die verwendet wird:

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}

Wenn die Basen (a) gleich sind, dann können die Exponenten (m,n) addiert werden.

Hier:

{(\frac{1}{2})}^{x} \cdot {(\frac{1}{2})}^{5} = {(\frac{1}{2})}^{x + 5}

A (x) = {[- 3 {(\frac{1}{2})}^{x + 5} + 3]}^{2}

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Lösungen zu:

Aufgabe B1.1

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Themen dieser Aufgabe:

Flächeninhalt eines Dreiecks

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