Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2008 Mathematik I Aufgabe B1

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B1.7 (2 Punkte)

Begründen Sie, dass die

y

-Koordinate der Punkte

C_{n}

nicht den Wert

- 1

annehmen kann.

Lösung zu Aufgabe B1.7

Mittelpunkt einer Strecke

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Annahme: der

y

-Wert der Punkte

C_{n}

kann den Wert

- 1

annehmen.

y_{C_{n}} = - 1

Schritt einblenden / ausblenden

Mittelpunkt einer Strecke

Punkte

C_{n}

liegen auf der selben Höhe (

y

-Koordinate) wie die Mittelpunkte der Strecken

[A_{n} B_{n}]

(siehe Teilaufgabe 1.4).

Der Mittelpunkt

M

einer Strecke

[A B]

mit

A (x_{1} | y_{1})

und

B (x_{2} | y_{2})

ist gegeben durch:

M (\frac{x_{1} + x_{2}}{2} | \frac{y_{1} + y_{2}}{2})

\frac{y_{A_{n}} + y_{B_{n}}}{2} = - 1

|

\cdot 2

y_{A_{n}} + y_{B_{n}} = - 2

Schritt einblenden / ausblenden

Punktkoordinaten

Laut Teilaufgabe 1.4 liegen die Punkte

A_{n}

auf dem Graphen von

f

und die Punkte

B_{n}

auf dem Graphen von

f^{'}

\Rightarrow

y_{A_{n}} = - {(\frac{1}{2})}^{x + 4} + 2

\Rightarrow

y_{B_{n}} = {(\frac{1}{2})}^{x + 3} - 4

- {(\frac{1}{2})}^{x + 4} + 2 + {(\frac{1}{2})}^{x + 3} - 4 = - 2

|

+ 2

- {(\frac{1}{2})}^{x + 4} + {(\frac{1}{2})}^{x + 3} = 0

|

+ {(\frac{1}{2})}^{x + 4}

{(\frac{1}{2})}^{x + 3} = {(\frac{1}{2})}^{x + 4}

Schritt einblenden / ausblenden

Potenzen mit gleicher Basis

Zwei Potenzen mit der gleichen Basis sind gleich, wenn auch die Exponenten gleich sind.

Hier:

Beide Potenzen haben die selbe Basis

\frac{1}{2}

. Also müssen die Exponenten

x + 5

und

x + 4

gleich gesetzt werden.

x + 3 = x + 4

|

- x

3 = 4

falsche Aussage!

Die Annahme führt zu einer falschen Aussage, also stimmt sie nicht.

\Rightarrow

Die

y

-Koordinate von

C_{n}

kann den Wert

- 1

nicht annehmen.

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