Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2011 Mathematik I Aufgabe B2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B2.2 (5 Punkte)

Der Graph der Funktion

f_{1}

wird durch orthogonale Affinität mit der

x

-Achse als Affinitätsachse und dem Affinitätsmaßstab

k

(k \in ℝ ∖ {0})

sowie anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor

\vec{v} = (\binom{2}{- 13})

auf den Graphen der Funktion

f_{2}

mit der Gleichung

y = - 6 \cdot 1, 5^{x - 1} + 3

abgebildet (

G = ℝ \times ℝ

).
Zeichnen Sie den Graphen zu

f_{2}

in das Koordinatensystem zu 2.1 ein und ermitteln Sie durch Rechnung den Affinitätsmaßstab

k

Lösung zu Aufgabe B2.2

Skizze

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Wertetabelle:

G_{f_{2}}

einzeichnen:

Orthogonale Affinität

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f_{1} : y = 1, 5^{x + 2} - 4

(\binom{x}{y}) = (\binom{x}{1, 5^{x + 2} - 4})

Schritt einblenden / ausblenden

Orthogonale Affinität

Matrixdarstellung einer orthogonalen Affinität mit der

x

-Achse als Affinitätsachse und einem Affinitätsmaßstab

k

(\binom{x^{'}}{y^{'}}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & k \end{matrix}) \cdot (\binom{x}{y})

(\binom{x^{'}}{y^{'}}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & k \end{matrix}) \cdot (\binom{x}{1, 5^{x + 2} - 4})

Schritt einblenden / ausblenden

Matrizenmultiplikation

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} a \cdot x + b \cdot y \\ c \cdot x + d \cdot y \end{matrix})

(\binom{x^{'}}{y^{'}}) = (\binom{x}{k \cdot (1, 5^{x + 2} - 4)})

Verschiebung um einen Vektor

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(\binom{x^{''}}{y^{''}}) = (\binom{x}{k \cdot (1, 5^{x + 2} - 4)}) + (\binom{2}{- 13})

(\binom{x^{''}}{y^{''}}) = (\binom{x + 2}{k \cdot (1, 5^{x + 2} - 4) - 13})

x^{''} = x + 2

\Rightarrow

x = x^{''} - 2

Schritt einblenden / ausblenden

Einsetzen

x = x^{''} - 2

wird in

y^{''}

eingesetzt.

y^{''} = k \cdot (1, 5^{x + 2} - 4) - 13

y^{''} = k \cdot (1, 5^{x^{''} - 2 + 2} - 4) - 13

y^{''} = k \cdot (1, 5^{x^{''}} - 4) - 13

y^{''} = k \cdot 1, 5^{x^{''}} - 4 k - 13

Schritt einblenden / ausblenden

Anstelle von

y^{''}

und

x^{''}

wird

y

und

x

geschrieben.

Nun erhält man die Gleichung der Funktion

f_{2}

in Abhängigkeit von

k

f_{2} (k) : y = k \cdot 1, 5^{x} - 4 k - 13

Parameterwerte ermitteln

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Gegeben:

f_{2} : y = - 6 \cdot 1, 5^{x - 1} + 3

k

zu bestimmen, müssen die Koeffizienten der beiden Gleichungen verglichen werden.

Dies ist aber erst möglich, wenn

1, 5

in beiden Gleichungen denselben Exponenten besitzt.

f_{2} : y = - 6 \cdot 1, 5^{x - 1} + 3

Schritt einblenden / ausblenden

Potenzregeln

Die Regel, die verwendet wird:

a^{m + n} = a^{m} \cdot a^{n}

Hier:

1, 5^{x - 1} = 1, 5^{x} \cdot 1, 5^{- 1}

f_{2} : y = - 6 \cdot 1, 5^{x} \cdot 1, 5^{- 1} + 3

f_{2} : y = - 6 \cdot 1, 5^{- 1} \cdot 1, 5^{x} + 3

Nun folgt der Koeffizientenvergleich in den Gleichungen

f_{2} (k) : y = k \cdot 1, 5^{x} - 4 k - 13

und

f_{2} : y = - 6 \cdot 1, 5^{- 1} \cdot 1, 5^{x} + 3

.

I.

k = - 6 \cdot 1, 5^{- 1}

II.

- 4 k - 13 = 3

zu I.:

k = - 6 \cdot 1, 5^{- 1} = - 4

zu II.:

- 4 k - 13 = 3

|

+ 13

- 4 k = 16

|

: (- 4)

k = - 4

\Rightarrow

k = - 4

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Lösungen zu:

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Themen dieser Aufgabe:

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Orthogonale Affinität

Verschiebung um einen Vektor

Parameterwerte ermitteln

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