Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2011 Mathematik I Aufgabe B2

Aufgabe B2.4 (2 Punkte)

Zeigen Sie durch Rechnung, dass für den Flächeninhalt

A

der Trapeze

A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}

in Abhängigkeit von der Abszisse

x

der Punkte

A_{n}

gilt:

A (x) = (- 6, 25 \cdot 1, 5^{x} + 10)

FE.

Lösung zu Aufgabe B2.4

Flächeninhalt eines Trapezes

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Gegeben:

A_{n} (x | - 6 \cdot 1, 5^{x - 1} + 3)

B_{n} (x | 1, 5^{x + 2} - 4)

\bar{D_{n} C_{n}} = 3 L E

Gesucht:

A (x)

Schritt einblenden / ausblenden

Flächeninhalt eines Trapezes

Ein Trapez mit den Grundseiten

a

und

b

und der Höhe

h

hat einen Flächeninhalt von:

A = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h

Hier gilt:

a = \bar{A_{n} B_{n}}

b = \bar{D_{n} C_{n}} = 3 L E

h = 2 L E

A = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h

A = \frac{1}{2} \cdot (\bar{A_{n} B_{n}} + \bar{D_{n} C_{n}}) \cdot 2

A = \frac{1}{2} \cdot (\bar{A_{n} B_{n}} + 3) \cdot 2

Schritt einblenden / ausblenden

Länge einer Strecke

Die Strecke

[A_{n} B_{n}]

ist parallel zur

y

-Achse.

Deshalb wird

\bar{A_{n} B_{n}}

berechnet, indem man den

y

-Wert von

B_{n}

vom

y

-Wert von

A_{n}

abzieht:

\bar{A_{n} B_{n}} = y_{A_{n}} - y_{B_{n}}

\bar{A_{n} B_{n}} = - 6 \cdot 1, 5^{x - 1} + 3 - (1, 5^{x + 2} - 4)

\bar{A_{n} B_{n}} = - 6 \cdot 1, 5^{x - 1} - 1, 5^{x + 2} + 7

Schritt einblenden / ausblenden

Potenzregeln

Die Regel, die verwendet wird:

a^{m + n} = a^{m} \cdot a^{n}

\bar{A_{n} B_{n}} = - 6 \cdot 1, 5^{x} \cdot 1, 5^{- 1} - 1, 5^{x} \cdot 1, 5^{2} + 7

\bar{A_{n} B_{n}} = - 4 \cdot 1, 5^{x} - 2, 25 \cdot 1, 5^{x} + 7

\bar{A_{n} B_{n}} = 1, 5^{x} \cdot (- 4 - 2, 25) + 7

\bar{A_{n} B_{n}} = - 6, 25 \cdot 1, 5^{x} + 7

A = \frac{1}{2} \cdot (\bar{A_{n} B_{n}} + 3) \cdot 2

A = \frac{1}{2} \cdot (- 6, 25 \cdot 1, 5^{x} + 7 + 3) \cdot 2

\Rightarrow

A (x) = - 6, 25 \cdot 1, 5^{x} + 10

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Flächeninhalt eines Trapezes

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