Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2012 Mathematik II Aufgabe B2

Aufgabe B2.2 (2 Punkte)

Um die Stabilität des Sonnenfächers zu erhöhen, wird zwischen den Punkten

A

und

C

eine Stange eingezogen, die um

5 %

kürzer ist als die Strecke

[A C]

.
Bestimmen Sie rechnerisch die Länge

l

dieser Stange.

Lösung zu Aufgabe B2.2

Länge einer Strecke

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Gegeben:

\bar{B C} = \bar{A B} = 110, 0 cm

β = 105, 0^{\circ}

Gesucht:

\bar{A C}

Man betrachtet das Dreieck

ABC

Schritt einblenden / ausblenden

Kosinussatz

Sind in einem beliebigen Dreieck zwei Seiten

b

und

a

und der von diesen Seiten eingeschlossene Winkel

α

gegeben, so kann der Kosinussatz angewendet werden:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos α$

Es gilt:

{\bar{A C}}^{2} = {\bar{A B}}^{2} + {\bar{B C}}^{2} - 2 \cdot \bar{A B} \cdot \bar{B C} \cdot \cos β

{\bar{A C}}^{2} = 110^{2} + 110^{2} - 2 \cdot 110 \cdot 110 \cdot \cos 105^{\circ}

\bar{A C} = \sqrt{110^{2} + 110^{2} - 2 \cdot 110 \cdot 110 \cdot \cos 105^{\circ}}

\bar{A C} \approx 174, 5 cm

Der Länge

l

der Stange ist um

5 %

kürzer als

\bar{A C}

\Rightarrow

l

entspricht

95 %

von

\bar{A C}

\Rightarrow

l = 0, 95 \cdot \bar{A C} = 0, 95 \cdot 174, 5 \approx 165, 8 cm

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