Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2012 Mathematik II Aufgabe B2

Aufgabe B2.6 (4 Punkte)

Der Sonnenfächer soll zweifarbig gestaltet werden. Dazu werden die Flächen der Figur

C D G

, der Figur

E A F

und des Dreiecks

B G F

entsprechend der Skizze dunkel abgesetzt.
Zeigen Sie rechnerisch, dass der helle Teil um mehr als

40 %

größer ist als der dunkle Teil.

Lösung zu Aufgabe B2.6

Flächeninhalt einer geometrischen Figur

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Gegeben:

A_{C D G} = 1481, 2 {cm}^{2}

A_{Δ B G F} = 1413, 3 {cm}^{2}

\bar{B C} = 110, 0 cm

β = 105^{\circ}

Zuerst wird die Summe der dunklen Flächen berechnet:

A_{dunkel} = A_{C D G} + A_{E A F} + A_{Δ B G F}

Schritt einblenden / ausblenden

Flächeninhalt

Wegen den kongruenten Teilsektoren und der Symmetrie gilt außerdem:

A_{C D G} = A_{E A F}

A_{dunkel} = 1481, 2 + 1481, 2 + 1413, 3 = 4375, 7 {cm}^{2}

Berechnung der hellen Gesamtfläche:

A_{hell} = A_{Sektor B C A} - A_{dunkel}

Schritt einblenden / ausblenden

Flächeninhalt eines Kreissektors

Der Flächeninhalt

A

eines Kreissektors wird gemäß der Formel

A = r^{2} \cdot π \cdot \frac{α}{360^{\circ}}

berechnet.

r^{2} \cdot π

ist der Flächeninhalt des ganzen Kreises.

\frac{α}{360^{\circ}}

gibt den Anteil des Kreissektors am ganzen Kreis an.

A_{hell} = {\bar{B C}}^{2} \cdot π \cdot \frac{β}{360^{\circ}} - A_{dunkel}

A_{hell} = 110^{2} \cdot π \cdot \frac{105^{\circ}}{360^{\circ}} - 4375, 7 \approx 6911, 5 {cm}^{2}

Größenvergleich:

40 %

des dunklen Teils:

0, 4 \cdot A_{dunkel} = 0, 4 \cdot 4375, 7 = 1750, 3 {cm}^{2}

Erhöhung des dunklen Teils um

40 %

4375, 7 + 1750, 3 = 6126, 0 {cm}^{2}

\Rightarrow

6126, 0 < 6911, 5 (A_{hell})

Also ein Erhöhung um mehr als 40%

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