Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2012 Mathematik II Aufgabe B2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B2.4 (4 Punkte)

Die Strecke

[A C]

schneidet die Strecke

[D B]

im Punkt

G

und die Strecke

[E B]

im Punkt

F

. Berechnen Sie die Länge der Strecke

[G B]

sowie den Flächeninhalt

A_{Δ B G F}

des Dreiecks

B G F

.
[Ergebnisse:

\bar{G B} = 70, 2 cm

;

A_{Δ B G F} = 1413, 3 cm

]

Lösung zu Aufgabe B2.4

Länge einer Strecke

weitere Mittlere-Reife-Prüfungsaufgaben zu diesem Thema

Gegeben:

β = 105, 0^{\circ}

Gesucht:

\bar{G B}

Man betrachtet das Dreieck

G C B

Neben dem gegebenen Winkel

∡ C B G = \frac{β}{3} = 35^{\circ}

kann auch der Winkel

∡ G C B

bestimmt werden.

Schritt einblenden / ausblenden

Winkel berechnen

In einem gleichschenkligen Dreieck

ABC

sind die beiden Basiswinkel gleich groß (

α = β

).

Von der Winkelsumme

180^{\circ}

wird zunächst der Scheitelwinkel

γ

abgezogen, wobei das doppelte Maß eines Basiswinkels (

2 α

) übrig bleibt.

2 α = 180^{\circ} - γ

|

: 2

Somit erhält man die Formel für den Basiswinkel:

α = \frac{180^{\circ} - γ}{2}

∡ G C B = \frac{180^{\circ} - β}{2}

(Basiswinkel des Dreiecks

A B C

)

∡ G C B = \frac{180^{\circ} - 105^{\circ}}{2} = 37, 5^{\circ}

Zuletzt ist auch der Winkel

∡ B G C

berechenbar.

Schritt einblenden / ausblenden

Winkelsumme im Dreieck

Die Summe der Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks ist immer gleich

180^{\circ}

∡ B G C = 180^{\circ} - ∡ C B G - ∡ G C B

∡ B G C = 180^{\circ} - 35^{\circ} - 37, 5^{\circ} = 107, 5^{\circ}

Nun sind im Dreieck

G C B

alle Innenwinkel und die Länge der Strecke

[B C]

gegeben.

Schritt einblenden / ausblenden

Sinussatz

In jedem Dreieck haben die Quotienten aus der Länge einer Seite und dem Sinuswert ihres Gegenwinkels denselben Wert. Es gilt:

\frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β} = \frac{c}{\sin γ}

Anders formuliert:

\frac{a}{b} = \frac{\sin α}{\sin β}

\frac{a}{c} = \frac{\sin α}{\sin γ}

\frac{b}{c} = \frac{\sin β}{\sin γ}

Es gilt:

\frac{\bar{B C}}{\sin ∡ B G C} = \frac{\bar{G B}}{\sin ∡ G C B}

\frac{110}{\sin 107, 5^{\circ}} = \frac{\bar{G B}}{\sin 37, 5^{\circ}}

|

\cdot \sin 37, 5^{\circ}

\bar{G B} = \frac{110}{\sin 107, 5^{\circ}} \cdot \sin 37, 5^{\circ} \approx 70, 2

Flächeninhalt eines Dreiecks

weitere Mittlere-Reife-Prüfungsaufgaben zu diesem Thema

Gesucht:

A_{Δ B G F}

Da die gesamte Figur aus kongruenten Teilsektoren besteht und symmetrisch ist, ist das Dreieck

_{B G F}

gleichschenklig mit den Maßen:

∡ G B F = \frac{β}{3} = 35^{\circ}

\bar{G B} = \bar{F B} = 70, 2 cm

Schritt einblenden / ausblenden

Flächeninhalt eines Dreiecks

Sind in einem beliebigem Dreieck

A B C

zwei Seiten

a

und

b

und der Winkel

α

, der von beiden Seiten eingeschlossen wird, bekannt, so gilt für den Flächeninhalt

A

des Dreiecks:

A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin α

A_{Δ B G F} = \frac{1}{2} \cdot \bar{G B} \cdot \bar{F B} \cdot \sin ∡ G B F

A_{Δ B G F} = \frac{1}{2} \cdot 70, 2 \cdot 70, 2 \cdot \sin 35^{\circ} \approx 1413, 3 {cm}^{2}

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Themen dieser Aufgabe:

Länge einer Strecke

Flächeninhalt eines Dreiecks

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