Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2018 Mathematik I Aufgabe B2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B2.4 (5 Punkte)

Unter den Vierecken

A B_{n} C D_{n}

gibt es das Drachenviereck

A B_{2} C D_{2}

.
Zeigen Sie rechnerisch, dass für die

x

-Koordinate des Punktes

B_{2}

gilt:

x = 0, 91

.
Berechnen Sie sodann den Flächeninhalt des Drachenvierecks

A B_{2} C D_{2}

Lösung zu Aufgabe B2.4

Flächeninhalt eines Drachenvierecks

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Gegeben:

A (- 2 | 2)

B_{n} (x | 0, 5 x)

C (3 | 3)

D_{n} (- 2, 5 x + 1, 75 | - 1, 25 x + 8, 75)

Gesucht:

\vec{A C}

und

\vec{B_{n} D_{n}}

\vec{A C} = (\binom{3 - (- 2)}{3 - 2})

\vec{A C} = (\binom{5}{1})

\vec{B_{n} D_{n}} = (\binom{(- 2, 5 x + 1, 75) - x}{(- 1, 25 x + 8, 75) - 0, 5 x})

\vec{B_{n} D_{n}} = (\binom{- 3, 5 x + 1, 75}{- 1, 75 x + 8, 75})

\vec{A C} \circ \vec{B_{n} D_{n}} = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Skalarprodukt

Im Drachenviereck

A B_{n} C D_{n}

stehen die Diagonalen

[A C]

und

[B_{n} D_{n}]

senkrecht aufeinander.

Wenn zwei Vektoren aufeinander senkrecht stehen, dann ist das Skalarprodukt der beiden Vektoren gleich 0.

(\binom{5}{1}) \circ (\binom{- 3, 5 x + 1, 75}{- 1, 75 x + 8, 75}) = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren

\vec{a} = (\binom{a_{1}}{a_{2}})

und

\vec{b} = (\binom{b_{1}}{b_{2}})

wird wie folgt dargestellt:

\vec{a} \circ \vec{b} = (\binom{a_{1}}{a_{2}}) \circ (\binom{b_{1}}{b_{2}})

=

a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2}

5 \cdot (- 3, 5 x + 1, 75) + (- 1, 75 x + 8, 75) = 0

- 17, 5 x + 8, 75 - 1, 75 x + 8, 75 = 0

- 19, 25 x + 17, 5 = 0

|

- 17, 5

- 19, 25 x = - 17, 5

|

: - 19, 25

x = 0, 91

Länge eines Vektors

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Gegeben:

\vec{A C} = (\binom{5}{1})

und für

x_{2} = 0, 91

\vec{B_{n} D_{n}} = (\binom{- 3, 5 x + 1, 75}{- 1, 75 x + 8, 75})

egbit sich:

\vec{B_{2} D_{2}} = (\binom{- 3, 5 \cdot (0, 91) + 1, 75}{- 1, 75 \cdot (0, 91) + 8, 75}) = (\binom{- 1, 435}{7, 1575})

Gesucht:

| \vec{A C} |

und

| \vec{B_{2} D_{2}} |

um den Flächeninhalt

A_{A B_{2} C D_{2}}

zu berechnen.

Schritt einblenden / ausblenden

Länge eines Vektors

Die Länge eines Vektors

\vec{v}

mit

\vec{v} = (\binom{x}{y})

wird mit der folgenden Formel berechnet:

| \vec{v} | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

| \vec{A C} | = \sqrt{5^{2} + 1^{2}} = \sqrt{26}

| \vec{B_{2} D_{2}} | = \sqrt{(- 1, 435)^{2} + (7, 1575)^{2}} = 7, 3

Schritt einblenden / ausblenden

Flächeninhalt eines Drachenvierecks

Ein Drachenviereck mit den Diagonalen

e

und

f

hat einen Flächeninhalt von:

A = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f

A_{A B_{2} C D_{2}} = \frac{1}{2} \cdot

| \vec{A C} | \cdot | \vec{B_{2} D_{2}} |

A_{A B_{2} C D_{2}} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{26} \cdot 7, 3

A_{A B_{2} C D_{2}} = 18, 61 FE

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Themen dieser Aufgabe:

Flächeninhalt eines Drachenvierecks

Länge eines Vektors

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