Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2018 Mathematik I Aufgabe B2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B2.5 (3 Punkte)

Der Punkt

C^{'}

entsteht durch Achsenspiegelung des Punktes

C

an der Geraden

g

.
Für das Viereck

A B_{3} C D_{3}

gilt:

B_{3} \in [A C^{'}]

.
Berechnen Sie die Koordinaten von

C^{'}

und zeichnen Sie sodann das Viereck

A B_{3} C D_{3}

in das Koordinatensystem zu B 2.1 ein.

Lösung zu Aufgabe B2.5

Koordinaten von Punkten ermitteln

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Gegeben:

g : y = 0, 5 x

und

C (3 | 3)

Gesucht: Koordinaten des Punktes

C^{,}

Schritt einblenden / ausblenden

Steigung einer Geraden

Für den Winkel

α

, den eine Gerade

g : y = m x + t

mit der

x

-Achse einschließt, gilt:

m = \tan α

\tan α = 0, 5

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Weil man später für die Spiegelungsmatrix den doppelten Winkel benötigt, berechnen wir hier gleich

2 α

.

Um den Winkel

2 α

aus

\tan α = 0, 5

zu bestimmen, wird im Taschenrechner (TR) folgendes eingegeben:

TR:

0, 5 \to

SHIFT

\to

tan

\to \cdot 2

\Rightarrow 2 α = 53, 13^{\circ}

Schritt einblenden / ausblenden

Spiegelung

Ist

α

der Winkel, den die Spiegelungsgerade mit der x-Achse einschließt, so lautet die entsprechende Spiegelungsmatrix:

(\begin{matrix} \cos 2 α & \sin 2 α \\ \sin 2 α & - \cos 2 α \end{matrix})

(\begin{matrix} x^{,} \\ y^{,} \end{matrix})

(\begin{matrix} \cos 53, 13^{\circ} & \sin 53, 13^{\circ} \\ \sin 53, 13^{\circ} & - \cos 53, 13^{\circ} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Matrizenmultiplikation

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} a \cdot x + b \cdot y \\ c \cdot x + d \cdot y \end{matrix})

(\begin{matrix} x^{,} \\ y^{,} \end{matrix})

(\begin{matrix} 3 \cdot \cos 53, 13^{\circ} + 3 \cdot \sin 53, 13^{\circ} \\ 3 \cdot \sin 53, 13^{\circ} - 3 \cdot \cos 53, 13^{\circ} \end{matrix})

(\begin{matrix} x^{,} \\ y^{,} \end{matrix})

(\begin{matrix} 4, 2 \\ 0, 6 \end{matrix})

\Rightarrow

C^{,} (4, 2 | 0, 6)

Skizze

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Einzeichnen

- Antragen des Spiegelpunktes

C^{,}

.
- Einzeichnen der Strecke

[A C^{,}]

.
- Der Schnittpunkt der Strecke

[A C^{,}]

mit der Geraden

g

ergibt den Punkt

B_{3}

.
- Messen des Abstandes der Punkte

B_{3}

und

M

. Anschließend wird der Abstand mit

3, 5

multipliziert und vom Punkt

B

aus angetragen.

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