Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2018 Mathematik I Aufgabe B2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B2.6 (2 Punkte)

Begründen Sie, dass für die Flächeninhalte der Dreiecke

A M D_{n}

und

M B_{n} C

gilt:

A_{A M D_{n}} : A_{M B_{n} C} = 2, 5 : 1

Lösung zu Aufgabe B2.6

2-dimensionale Geometrie

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Flächeninhalt eines Dreiecks

Sind in einem beliebigem Dreieck

A B C

zwei Seiten

a

und

b

und der Winkel

α

, der von beiden Seiten eingeschlossen wird, bekannt, so gilt für den Flächeninhalt

A

des Dreiecks:

A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin α

A_{A M D_{n}} = \frac{1}{2} \cdot \bar{A M} \cdot \bar{M D_{n}} \cdot \sin φ_{1}

mit

φ_{1} = ∡ D_{n} M A

und

A_{M B_{n} C} = \frac{1}{2} \cdot \bar{M C} \cdot \bar{M B_{n}} \cdot \sin φ_{2}

mit

φ_{2} = ∡ B_{n} M C

gilt:

\frac{A_{A M D_{n}}}{A_{M B_{n} C}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \bar{A M} \cdot \bar{M D_{n}} \cdot \sin φ_{1}}{\frac{1}{2} \cdot \bar{M C} \cdot \bar{M B_{n}} \cdot \sin φ_{2}}

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Erläuterung

\frac{1}{2}

kann aus dem Nenner und dem Zähler des Verhältnisses gestrichen werden.

\frac{A_{A M D_{n}}}{A_{M B_{n} C}} = \frac{\bar{A M} \cdot \bar{M D_{n}} \cdot \sin φ_{1}}{\bar{M C} \cdot \bar{M B_{n}} \cdot \sin φ_{2}}

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Erläuterung

\sin ϕ_{1}

und

\sin ϕ_{2}

können gekürzt werden, da

φ_{1}

und

φ_{2}

Scheitelwinkel sind und somit

φ_{1} = φ_{2}

gilt.

\frac{A_{A M D_{n}}}{A_{M B_{n} C}} = \frac{\bar{A M} \cdot \bar{M D_{n}}}{\bar{M C} \cdot \bar{M B_{n}}}

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Erläuterung

Da der Punkt

M

der Mittelpunkt der Strecke

[A C]

ist, gilt:

\bar{A M} = \bar{M C}

Somit können die Streckenlängen

\bar{A M}

und

\bar{M C}

ebenfalls aus dem Verhältnis gekürzt werden.

\frac{A_{A M D_{n}}}{A_{M B_{n} C}} = \frac{\bar{M D_{n}}}{\bar{M B_{n}}}

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Erläuterung

Da für die Diagonalen

[B_{n} D_{n}]

\vec{B_{n} D_{n}} = 3, 5 \cdot \vec{B_{n} M}

gilt, ist

\bar{M D_{n}} = 2, 5 \cdot \bar{M B_{n}}

\frac{A_{A M D_{n}}}{A_{M B_{n} C}} = \frac{2, 5}{1}

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Themen dieser Aufgabe:

2-dimensionale Geometrie

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