Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2018 Mathematik II Aufgabe B1

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B1.6 (2 Punkte)

Begründen Sie rechnerisch, dass der Flächeninhalt

A

der Rauten

A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}

stets kleiner als

7 FE

ist.

Lösung zu Aufgabe B1.6

Flächeninhalt einer Raute

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Gegeben:

\bar{A_{n} C_{n}} (x) = (- 0, 5 x^{2} + 5, 5 x - 9) LE

;

\bar{B_{n} D_{n}} = 2 LE

Schritt einblenden / ausblenden

Flächeninhalt einer Raute

Eine Raute mit Diagonalen

e

und

f

hat einen Flächeninhalt von:

A = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f

A (x) = \frac{1}{2} \cdot \bar{A_{n} C_{n}} \cdot \bar{B_{n} D_{n}} = \frac{1}{2} \cdot (- 0, 5 x^{2} + 5, 5 x - 9) \cdot 2 = (- 0, 5 x^{2} + 5, 5 x - 9) FE

Extremwertaufgabe

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x

-Koordinate des Scheitelpunktes der Funktion

A (x)

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Der Flächeninhalt der Raute

A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}

ist für verschiedene

x

unterschiedlich groß.

Für einen bestimmten

x

-Wert ist der Flächeninhalt

A (x) = (- 0, 5 x^{2} + 5, 5 x - 9) FE

am größten (maximal).

Die Funktion

y = - 0, 5 x^{2} + 5, 5 x - 9

ist eine quadratische Funktion. Ihr Graph ist eine nach unten geöffnete Parabel. Den größte Funktionswert hat sie in ihrem Scheitelpunkt.

x_{max} = x_{S}

von

A (x)

Schritt einblenden / ausblenden

Scheitelpunkt einer Parabel bestimmen

Die Koordinaten des Scheitelpunktes

S (x_{S} | y_{S})

einer Funktion der Form

y = a x^{2} + b x + x

sind gegeben durch:

S (\frac{- b}{2 a} | c - \frac{b^{2}}{4 a})

x_{max} = \frac{- 5, 5}{2 \cdot (- 0, 5)} = 5, 5

Maximalen Flächeninhalt bestimmen:

A_{max} = A (5, 5) = 6, 125 FE < 7 FE

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